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多元凸函数的判定
1 引言
凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便.
2 定义及引理
本节主要介绍本文用到的定义及引理.
定义2.1[2] 设，如果中的任意两点的连线也在内，则称为中的凸集. 即对任意，数，总有
.
定义2.2[1] 设为非空凸集,为定义在上的函数,若对任意，总有
， (1)
则称为上的凸函数. 反之，如果总有
， (2)
则为上的凹函数.
若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
定义 是定义在上的多元函数，若在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作

定义 是定义在上的多元函数，且在点具有二阶连续偏导数，记

它称为在的黑赛矩阵.
引理2.1[1] (泰勒定理) 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在上存在阶导函数，则对任意给定得，至少存在一点，使得

3 已有结果
定理 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点，总有

定理 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是
，.
定理 设为凸集内可微函数，则为内的凸函数的充要条件是:对任意，，则.
定理 设是定义在非空开集的二次可微函数，则是凸函数的充要条件是在任意点处的黑赛矩阵半正定.
定理 设是定义在非空开集的二次可微函数，若的黑赛矩阵在任意点处正定，则是严格凸函数.

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