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第六章 多项式插值理论

一、区间[a , b]上的一般插值理论 (从有限维子空间出发的逼近方法)
① 对无限维函数空间的一个元素f (x) 进行逼近，关于f (x) 的情况仅知道一部分
(1、若干点的函数值或导数值已知； 2、满足一些控制方程)
② 选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间
基函数性质:
③ 选择 中的元素，在一定的约束条件下，使良好的逼近, 即 令= 关于在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。
④ 良好逼近的判断
e.g. Tchebycheff 范数，|| f || = 称为一致逼近。
⑤ 约束条件: （依据对的了解来确定）
i/ 插值约束
1 (a, b) 且互不相同；
ii/ 插值与光滑性混合约束
(1)、 1 (a , b) 且互不相同
(2)、 1 (a,b) 且互不相同
(3)、 的二阶导数存在
iii/ 变分约束 （以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）
依据|| f -||在中为最小的条件，即确定常数 使的解由下列形式的极小化问题得到：
|| f -|| = min{|| f-||：}
Note：这里的||·|| 不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。
iv/ 正交约束
根据f-与n个给定基函数的正交条件，确定常数：
, 1。即
< f -, 1
这是Galerkin方法的基础。
Note:
1）、约束条件可组合使用，如在有限元的计算中，构造位移形状函数时，应用插值或光滑性约束条件与变分约束的组合。
2）、仅对插值约束问题，实际构成求解下列方程组：

3）、若选取X= Span{ } 则称为Lagrange 多项式插值。
二 、Lagrange 多项式插值
1、多项式插值的一般定理
Weierstrass（维尔斯托拉斯）定理：
设[a , b]为任意给定的闭区间，为任意小常数，f (x)为 [a ,b]上的任意连续函数，则必存在一定的多项式Pn(x) 使得, || f- Pn||<，|| · || 为切比雪夫型范数。
Bernstein（伯恩斯坦）给出下列 形式，可对任意连续函数f (x) 进行一致逼近。
； （等距离配点）
Pn(x)

f (x)

感兴趣的问题：
① 若节点x0，x1, …… , xn 不断增多，Pn的阶次也随之增大，在保证，时，使逼近的光滑性变差，多项式出现“摆振”特性，从而使计算性质劣化，故一般不要选得阶次太高。
② 在不改变节点数n 的情况下，可改变节点位置的配置，使得在一定范数条件下，获得对f (x)的最佳逼近。例如选择n个有规则的不等距配点，可使

2、Lagrange插值定理
在n+1个不相等的实数上，取被规定值的n次多项式Pn(x) 是存在且唯一的。意思是说，不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数，结果都是唯一的，都可化为统一的形式。这样，就有Lagrange 插值的标准基函数（Canonical Base Function）:

li(x)

1

x5

x6
x4
x1
x2
x3
x0

① 第i个基函数在xi 点取值为 1，在 xj ( j≠i )的点取值为 0，即
② 在区间 [a,b]上为 n 次多项式。
③ Pn 为基函数的线性组合，其系数为被插函数在型值点的函数值。（仅有典则基有此性质）。
④ 称为n次多项式线性空间上的典则基。
⑤ 还有许多多项式基函数，如{1，x,…xn}（并不满足插值系数就是函数点值的性质）；
再如：正交多项式基：Legender 或 Tchebycheff 基等。正交多项式可类比Euchilid 几何空间上的正交坐标轴，在那里几何上的正交性是自然的；在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性，如带权正交基函数定义为：

⑥ 计算时如何选择基，则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定；在插值时用典则基比较方便。
注意：这里并不是分片插值基函数，而是全域上的；分片插值见下段。
3、误差估计（包括这种误差估计式）
4、分段拉氏插值
有上节所述，多项式在整个区间[ a,b ]上插值，随着节点的增多（n→∞, h→0）会使逼近函数的图形产生激烈的起落（也与型值有关）。这是不希望的，克服的办法采用分段插值，即:

或
常用的m = 1分段线性插值 ：

M = 2分段二次插值 ：

1

Note: 不保证节点导数的存在。
5、有限元常用的在标准区间上的插值形式：
l1
1
-1
在区间 [ xi+1，xi+2 ]上，作标准变换 [ -1，1 ]
l2

在标准区间[-1，1]上，作函数插值：
函数的近似积分：
三、Hermite（埃尔米特）插值
1、区间 [a , b] 上满足插值与光滑性约束的插值
约束条件：
由拉氏插值定理可以得到如下启迪：
① 能唯一构造一个三次多项式：
② 可以写成一种典则基形式：

其中，x1= a , x2 = b 时，为区间 [a , b] 上的三次多项式，且
（这里的 i,j 指的是区间的两端点）
寻找方法：在节点（边界点）上的要求类似于，但要是三次多项式且还要满足前两个条件，故可选：
易验证：
于是选择常数a, b 满足： (i=j)

同理可得：
留作作业。
最终，
唯一性证明略.
2、 拉格朗日分段线性插值在节点处改进为一阶导函数连续的Hermite插值。
该问题实际上是上述Hermite插值的简单推广，只要取[a, b]为[xi+1 , xi+2 ] 即可。

由此获得分段的Hermite插值多项式。该插值是在每个节点有两个参数，即 f(xi+1) 及
f ′(xi+1) 情况下得到的，同时具有节点一阶导数连续的内嵌性。
3、 有限元常用的标准区间上的Hermite插值
① 在节点坐标系上，x 轴的原点在梁的第一个节点，x 轴的正向指向第二个节点，元素长度为l，即在[ 0, l ]上做Hermite插值。
在[ 0，l ]上：

在[-1 ，1 ] 上：

（亚参元）
4、 在节点上仅已知函数值（即不知导数值）情况下的Hermite插值
方法可以很多，但三次多项式是唯一的。举例一种：

（r1, r2, q1, q2）可以这样来选择： f 为被插函数 1≤ i ≤4
即：，联立方程求解后获得被插函数的系数。
这样的插值存在且唯一。该例说明，不一定梁元问题必须选节点导数作未知参数。
5、 保证节点高阶导数一致的Hermite插值（略）
四、多变量函数的逼近
1、几点基本认识
l 多变量函数逼近的一般理论要落后很多，许多提法简单；很重要的问题，尚未获得很好的解决。
l 在一个随机网格上（二维区域Ω，随机存在 p0， p1， ….，pn个不同的节点）寻找一个关于x, y变量都是n次的多项式p(x, y)，满足下列插值约束：
P(x, y)具有以下形式：P(x, y)= 其解存在，但不保证解的唯一性。
l 在随机网格上构成光滑（即可微）的分片拉格朗日插值函数，分片埃尔米特插值函数，有些情况下可能不存在。关键在于配置节点pi，以及分片插值函数在各片的边界上如何连续，为构成光滑的逼近函数，节点的配置必须具有某种规律性。（一般为矩形网格或三角形网格）
2、矩形网格上的拉格朗日逼近函数
设 Ω

拉格朗日插值：
设：
其中：
则：
是一个x方向n 次，y方向m 次的多项式，其满足插值条件：
p( xi, yi ) = f(xi , yi) 0≤ i ≤n; 0≤ j ≤m
而且是唯一的，(x, y)在工程上称为形状函数，在数学上称为基函数。
3、分片拉格朗日多项式：将x方向和y方向的分片拉格朗日多项式的基函数相乘，再称以常数并求和可构成二维情况的分片拉格朗日多项式。若x, y方向的分片多项式的次数相同，则得到矩形域上的分片双线性、分片双二次等拉格朗日多项式。
(-1,1)
(1,1)
即：
对于双线性分片插值，则
(-1,-1)
(1,-1)
4、分片双三次 Hermite插值多项式:
插值约束：

5、张量积空间 (矩形域Ω上)
上述的二维插值基函数，可以用以下数学空间理论来描述。
设：,

的张量积的定义：
即是由 1≤ i ≤ N 和 1≤ j ≤ M 乘积的一切线性组合构成的，因为它由N, M个函数的一切线性组合所构成，所以是一个线性空间。不过它仍是的子空间，因为它的元素是连续函数乘积之和。
应当注意，如果我们以上所讲的基函数是指分片插值函数中的典则基。这些基函数具有在一个子区间上有值，而且在其余区间上为0。即：

数学上称这些函数有“局部支撑”或“支紧集”函数。只有这样函数的线性组合，在一个区间上构成一个规定阶次的多项式函数，而且它们是线性独立的。这些函数的线性组合构成的函数在区间上或边界上的连续性不同。从这个角度看显然是的子空间。
如果我们选择的基函数则在Ω与上构成一个N´M 阶多项式。
6、 矩形网格上的插值函数举例

ⅰ/四节点双线性插值（拉格朗日）

简单多项式基函数构成的张量积函数

ii/ 九节点双二次拉格朗日插值：
Lagrange基函数构成的张量积函数

2

3

3
2
1

N9 气泡函数

作业：给出N9的具体形式，并验证其在矩形域上的气泡特性。
ⅲ/ 八节点非完全二次拉格朗日插值函数
内部9节点对其他单元不构成作用，工程上不太喜欢用。仅采用8节点不完全二次多项式插值。

在中去掉项。
可采用待定系数方法，亦可用典则
基函数（形状函数）构造法，如下：

边中点：

N5的形状函数

角点1为例分析：选时，在节点5，8处不为零 而为
故：

作业：构造其拉格朗日型形状基函数

7、 三角网格上的插值函数
① 可采用单项式基
② 可采用（节点）形状函数基（面积坐标）一般多用线性元
③ 用节点导数参数的三次多项式（板弯问题中已见过）
8、关于有限元插值收敛性问题
收敛性：当元素尺寸趋近于零时，（换言之，当节点数目或节点位移的数量趋于无穷大时）最后的解答如果能无限的逼近准确解，那么这样的位移函数（或形状函数）就称为收敛的。

可能的收敛曲线

C1较C2有更好的收敛性；
C3趋向于某一确定值，不是该问题的解答（元素设计有问题时）
C4虽收敛，但不是单调收敛，它不能构成准确解的上界或下界（C4对应非协调元）
C5发散（连续性条件不满足，或不能通过分片检验）。
l 从最小势能原理出发的位移有限元素法，已知近似解的势能总大于真实解势能，同时，无限维位移场函数用有限个自由度进行插值，且限定了位移场的形态，这相当于限制了单元的变形能力，故一般计算的刚阵偏大（硬），而计算的位移一般偏小。
l 从变分运算对象的位能泛函∏，取决于弹性体的位移和应变，而应变也就是位移的某种导数（一阶的或二阶的），故为收敛性需要，可以自然想到应当使位移函数及其某种导数能够“无限的接近”真实的位移及其导数（只要满足某种误差限即可）。
l 不论元素的性态多么复杂， 当元素尺寸趋于零时，真实位移及其导数总是趋于某一常数，故从收敛性角度而言：
① 对形状函数的第一要求应当是：
函数本身及其某种导数应在元素上连续，并含有常数部分（ 包含刚体位移）：
轴力杆：1，x
平面应力元素：1, x, y
空间应力元素：1, x, y, z
平面刚架元素：
平板弯曲元素：
② 对形状函数的第二条要求：元素之间的位移协调。不仅节点处的位移应协调，沿整个内边界上的位移都应是协调的，这是最小位能原理所要求的基本前提。
③ 从收敛的快速性上要求：
插值多项式次数尽可能取高。