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用面积证明勾股定理
方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。
图(1)中,所以。
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。
图(2)中,所以。
方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.
方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
练习题
(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.
49、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
50 如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°。
求证:DE2=AD2+BE2。
51 如图,在△A BC中,AB=13,BC=14,A C=15,则BC边上的高A D= 。
52 如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分△AFC的面积是 。
53 在△ABC中,AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12,试求BC边的长.
54 在△A BC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。
55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗?为什么?
56. 在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形?为什么?
注意BC、AC、AB的大小关系。AB<BC<AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×(1+1997)+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。
57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5 cm,高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形
的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去,所走的距离最短?你能帮蜘蛛求出最短距离吗?
58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗?请说明理由。
59. 已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC是否是直角三角形?你能说明理由吗?
60. 如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,延长AB到F,使BF=AB,那么FE与FA 相等吗?为什么?
61. 如图,∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4,CD=6,求AB的长。
62.如图,∠xoy=60°,M是∠xoy内的一点,它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。
带答案版的
用面积证明勾股定理
方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。
图(1)中,所以。
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。
图(2)中,所以。
方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.
方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以。
50 如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且∠DCE=45°。
求证:DE2=AD2+BE2。
分析:利用全等三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形。
51 如图,在△A BC中,AB=13,BC=14,A C=15,则BC边上的高A D= 。
答案12。
52 如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分△AFC的面积是 。
设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3,
S=4*8/2-3*4/2=10
答案:10
53 在△ABC中,AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12,试求BC边的长.
答案25或7
54 在△A BC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。
答案84或36
55. 若△ABC三边a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,△ABC是直角三角形吗?为什么?
56. 在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998,则△ABC是否为直角三角形?为什么?
注意BC、AC、AB的大小关系。AB<BC<AC。
AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×(1+1997)+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。
57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处,如图,已知长方形长6cm,宽5 cm,高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇,沿着长方形
的表面向上爬,它要从A点爬到C1点,有很多路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着
怎样的路线爬上去,所走的距离最短?你能帮蜘蛛求出最短距离吗?
58.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm,有一70dm的木棒,能放进去吗?请说明理由。
59. 已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC是否是直角三角形?你能说明理由吗?
答案: 是直角三角形。(平方差公式的灵活运用)
=。
60. 如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,延长AB到F,使BF=AB,那么FE与FA 相等吗?为什么?
61. 如图,∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4,CD=6,求AB的长。
62.如图,∠xoy=60°,M是∠xoy内的一点,它到ox的距离MA为2。它到oy的距离为11。求OM的长。
过点D作FE⊥BC,交BC的延长线于点E,交BC的平行线AF于F点。
AB=EF,DE=,CE=3(在直角三角形中,30°角所对的边=斜边的一半), ∴AF=BE=7。在Rt△ADF中,FD=
∴AB=DE+FD=
答案. 延长AM交oy于M′,MM′=22 ∴AM′=24 OB=OM′-M′B
= ∴在Rt△OMB中,OM=
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