柱面方程与柱面坐标.doc

§3 柱面方程与柱面坐标
一 母线平行于坐标轴的柱面方程
1 定义：一动直线l在运动过程中，总是平行于一定方向V。，且总与一曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱面，其中V。——柱面的方向，c——柱面的准线，l的任一位置——柱面的母线。
2 方程及特征：
定理：在空间坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一母线，平行于z轴的柱面的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y的二元方程f（x,y）=0
证： “═〉”设三元方程F（x,y,z）为一母线平行于z轴的柱面Σ的方程，则Σ与面的交线c：〈═〉
其中f（x,y）≡F（x,y,0），可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M点的坐标满足f（x,y）=0， ∴f（x,y）=0是Σ的方程，从而F（x,y,z）=0与
f（x,y）=0同解。
“〈═”若F（x,y,z）=0同解于f（x,y）=0，记以c：为准线，母线平行于z轴的柱面为Σ，可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M的坐标满足f（x,y）=0
∴f（x,y）=0表示柱面Σ，从而F（x,y,z）=0亦表示柱面Σ

例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面和抛物柱面的图形如下：

(图2.4)

(图2.5)

(图2.6) (图2.7)

二 柱面坐标：
1 圆柱面的参数方程：
设圆柱面Σ的中心轴重合于z轴，半径=R
对P∈Σ，记P在x.y面上的投影为P′
θ=∠（i，OP′），则
r= = + = Rcosθi+Rsinθj+uk————矢量式参数方程
而 0≦θ<2π,∣u∣<——————坐标式参数方程
2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则 M落在以z轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u，使
（*）
反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依据（*）式
也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱面坐标，记作M（ρ，θ，u）
注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应
2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下式进行.