几何画板迭代全解.doc

几何画板迭代全解
目 录
² 迭代的基本概念以及迭代的基本操作
u 迭代的概念
u 迭代在代数、几何中的应用
u 画正多边形
u 数列的图像、前n项和与积
² 迭代与分形几何
u Sierpinski 三角形
u Sierpinski 地毯
u 摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树
u 分形树
u KOCH 曲线
u KOCH Snowflake柯克雪花
u 数学之美
u H迭代
u 蜂巢
u 其它分形欣赏
² 函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集
u 迭代法求方程解
u MIRA
u Henon-Attractor
u Mandelbrot集合
u Julia Sets集合
u 牛顿迭代法
² 下期预告

第一章：迭代的概念和操作
迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。
迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。
原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。
初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。
更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。

图 1.1
图 1.2
在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。
所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。
几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。
【例1】画圆的内接正7边形。
【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。
【步骤】
1. 新建圆O，在圆O上任取一点A。
2. 双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。

第 2 步
第 3 步
3. 选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。
4. 单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成。

第 4 步
第 5 步
5. 单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。
6. 点击迭代框【结构】按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有。
选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标，但是我们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发现最后的那个点变成实点了，这个功能在函数映射里面会用到。
上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。
【例2】画圆的任意n边形
【步骤】
1. 新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。
2. 新建参数n＝7，计算,注意这时要带单位‘度’。
3. 选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出现旋转对话框，单击计算结果‘’作为标记角度，得到B点。连接线段AB。

第 3 步
第 4 步
4. 顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代I】，出现迭代对话框。单击B点作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作。
5. 如何改变参数n呢？有两种方法，第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n，按键盘的‘＋’、‘－’，系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。

注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。

上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。
【例3】求数列 (n=1,2......)的图前8项，并在平面上画出散点。
【分析】由数列的表达式可知，是直线y=1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，一个是作为横坐标的数列1，2，3......，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。
【步骤】
1. 新建函数y=1+0.5x。
2. 新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。
（计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5,a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。）
3. 新建参数n＝7作为迭代深度。
4. 选择a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a＋1。

5. 右键点击数据表，选择‘绘制表中记录’，设置x列变量为(a+1)-1，y列为f(a)。坐标系为直角坐标系。

第 5 步
第 6 步
6. 点击绘图，得到散点。这些点是可以度量的。但是当参数n改变的时候，这些点不与数据表同步，所以是不会改变的。

【例4】求数列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n项和。
【分析】公差为d，假设前n项和为，，在平面上描出（n, ）。
【步骤】
1. 新建参数x=1,计算x＋1。
2. 新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。
3. 新建参数s=1,计算s+a+x*d
4. 选择x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。绘制数据表，x列为x＋1，y列为s＋a+x*d。

第 4 步
第 4 步
与此同理那么等比数列的制作也是一样的。下面我们来看看通项公式不知道的数列怎么画出其图像。

【例4】画出菲波拉契数列。
【分析】数列的前提条件是，因为；所以原像是，初像是。
【步骤】
1. 新建参数f1=0,f2=1,计算f1＋f2,把计算结果的标签改为f3。
2. 新建参数a=1,计算a+1,。计算（a+1）+1(因为迭代0次的时候f3＝2，而，所以下标应该是3，而a=1,故计算a+1+1)
3. 新建参数n=8
4. 依次选择f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。

第 5 步
第 6 步
5. 绘制表中数据，x列为，y列为。
6. 画点（0,1）,(1,1)两点，作为数列的前两项。从图像可以看出，数列前面增长的很缓慢，但是到了后面就非常的惊人了。
【小结】
在开始下一章“迭代与分行”之前，先复习一下深度迭代的过程是：
1. 顺次选择原像和参数n。（注意顺序）
2. 按住shift不放，单击菜单【变换】【深度迭代】（出现对话框后可以松开shift键）。
3. 依次选取初像。（注意顺序）。
添加映射的方法是按键盘‘Ctrl＋A’。

第二章：迭代与分形几何
分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2. 表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】
1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2. 新建参数n＝3
3. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。
4. 添加新的映射, 。

第 3 步
第 4 步
5. 继续添加映射。
6. 改变参数n可观察图形变化。

第 5 步
第 6 步

【Sierpinski地毯】
和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。
【步骤】
1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。
2. 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；
3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。

第 2 步
第 3 步

4. 新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。
如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？

【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】
毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。
【步骤】
1. 在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。
2. 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。
3. 新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，。

第2 步
第 3 步
4. 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。

【分形树】
【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。
【过程】
1. 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。
2. 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。
3. 双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。
4. 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。

第 3 步
第4 步
5. 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

6. 移动C点的位置，改变树枝的形状。

【KOCH 曲线】
瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。
【步骤】
1. 画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。
2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。
3. 新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）

4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。

5. 改变参数n，观察图形变化。

【KOCH雪花】
因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。
柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。
【步骤】
1. 在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。

2. 以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。

【数学之美】
【 步骤】
1. 任取两点A、B，并作正方形ABCD。
2. 在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。
3. 双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。

4. 新建参数n＝5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代， 。如下图所示：

5. 选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。

【H迭代】
【步骤】
1. 在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。
2. 以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。
3. 同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）

4. 隐藏不必要的点，新建参数n＝4。顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，
.
5. 单击迭代，隐藏各点的标签。

【蜂巢】
蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。
【步骤】
1. 屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。
2. 新建参数n＝5。选择A、B和参数n，作深度迭代，。

3. 单击迭代，得到蜂巢的图像。

上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：

第三章：函数迭代
【多项式求根】
【分析】多项式求根的迭代式是。
【步骤】
1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。
2. 新建函数，画出它的图像。
3. 在图像上任取一点A，度量A的横坐标。
4. 计算；计算。
5. 依次选择，单击【图表】【绘制点】。得到点B。
6. 度量B的横坐标。
7. 选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。结果如图1所示。

图 1
图 2
8. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标。
9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。
10. 拖动A点，改变它的位置。观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。如图2所示。

【MIRA】

【步骤】
1. 在平面上取一点A，度量A的横坐标和纵坐标。
2. 新建参数a＝0.4，b=0，99875。（b取得尽量接近1）
3. 新建函数。
4. 计算f()＋b,f(f()＋b)-。注意这里用的是函数嵌套。顺次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。得到点B。
5. 顺次选择点B和三个计算结果：f()＋b,f(f()＋b)-，。单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。发现B点的颜色变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。
6. 新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。

【Henon Map（埃农映射）】

【步骤】
1. 在平面上取一点A，度量A的横坐标和纵坐标。
2. 新建参数a=1.2,b=0.4
3. 计算。顺次选择这两个计算结果，点击【图表】【绘制(x,y)】，得到点B。
4. 选择点B，并依次选择和，单击菜单【显示】【颜色】【参数】，出现颜色参数对话框，单击确定。得到点B’。
5. 新建参数n＝1500,选择点A和参数n，作深度迭代，。

因为M集和朱丽亚集其实是复数平面迭代，我们先来复习一下复平面的一些知识。
若 Zk= xk+ iyk , m = p+iq

则 xk＋1＝xk2－yk2 ＋p，yk＋1＝2xkyk ＋q，聪明的你应该知道怎么表示复平面上的点的平方了吧。
好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他们之间的区别是什么呢？
考虑 Zk+1=Zk2+m，给定复数初值Z0,m ，得到无穷复数序列{Zk}
Julia集：固定m，Jm ={Z0½序列{Zk}有界}
Mandelbrot集：固定Z0，MZ＝{m ½序列{Zk}有界}
【 Mandelbrot 集合 】

【步骤】
1. 在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。
2. 在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。
3. 作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量。
4. 在平面上取一点F，度量 。计算，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。
5. 新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，。
6. 选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算，选择这三个结果和点G（注意是点G），单击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。
7. 选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键，单击‘追踪轨迹’。
8. 把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，适当调整窗口大小。

【Julia Sets朱丽亚集】

【步骤】
1. 在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。
2. 在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。
3. 作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量。
4. 在平面上取一点F，度量 。计算，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。
5. 新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，。
6. 选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算，选择这三个结果和点F（注意是点F），单击【显示】【颜色】【参数】，得到F’。
7. 选中F’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。
8. 点击动画按钮，则可以得到Julia集，调整窗口大小。

【牛顿迭代法】

【步骤】
9. 在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。
10. 在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。
11. 作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量。
12. 在平面上取一点F，度量 。计算，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。
13. 新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，。
14. 选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算，选择这三个结果和点G（注意是点G），单击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。
15. 选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。
把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，调整窗口大小

下期精彩预告：
国外同行Paul Kunkel在September 29, 2003制作了Perspective Tools。同样地，国内的霍焰制作了hot_fire立体几何制作平台。两个工具包在制作立体几何图形非常地方便。而且富有立体感。文章主要介绍两个工具包的使用。初级内容为空间直角坐标系的建立，点线面和简单空间几何体的绘制。高级内容为空间曲线的绘制，包括旋正弦线，转抛物面，双曲面，椭球面，球体等的绘制。

棱锥
球
圆柱

锥
长方体
四棱台

马鞍面 1
椭圆双曲面
旋转双曲面

李萨如曲线
正弦曲线
正弦波

球 1
球 2
球 3

球 3
球 4
球 5

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