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一元二次方程专项解析训练(八)
【例题精选】
例1:解下列方程
解:(1)由于系数数字较大,用公式法可以解,但会出现过大数字不好开方,造成不必要的困难,可考虑对450分解因数再用因式分解法解:
(2)先化为一般式原方程变形为:
(3)解法(一):先化一般式原方程变形为:
即:.
解法(二):换元法,设
则原方程变形为:
代入.
例2:解关于x的方程
解:化原方程为关于的一般方程为
例3:解下列方程:
解(1)由于
∴ 原方程可转化为 .
整理后得
设,则原方程变形为
即
解得
经检验都是原方程的解.
另解
直接用十字相乘也可得:
(2)
移项整理得
两边平方得
两边再平方得
经检验 x = 5是原方程的根,是增根(舍去).
(3)
把原方程变形为
设 则原方程变为
由根据算术根的定义,这个方程无解.
经检验是原方程的解.
小结:无理方程可用换元法去解,换元时,将依据把根号外的代数式变成与根号里的代数式相同,配比时,只要保持平衡即可.
例4:解答下列各题:
1、为何值时,关于x的方程的根为零.
2、试判定关于x的方程的根的情况,在有实数根的情况下,求出根的个数与m的值的关系:
解1:(一)由于方程的根是零,代入得: ∴
∴
(二)也可以先去分母得
整理后得
∵ 它的根是零.
即
∴ .
解2:(1)当m = 1时,方程化为
(2)当时,原方程为一元二次方程
所以,当时,即时,
原方程有两个不相等的实数根;
当时,即时,
原方程有两个相等的实数根;
当时,即时,
原方程没有实数根.
注意:用时,必须在二次项系数不等于0的前提下才可以.
例5:解答下列各题:
1、已知的两个实数根,求下列各式的值.
(1)
2、求作一个一元二次方程使它的两个根分别比方程的两个根大3.
3、关于的方程的两个实数根的倒数和为2,求m的值.
解1:(1)由根与系数关系得 .
(2) ∵
∴ .
(3)
解2:设方程的两个根分别为,则
得新方程为
依题题得
∴ 所求方程为.
解3:设方程的两个根为则
由题意得
代入得 整理得
当
∴ 舍去,因为方程为实数根
∴ 是所求的值.
【专项训练】:90分钟
一、解下列方程(组):
二、取何值时关于x的方程有两个实数根.
三、求证关于x的方程对任意实数,永远有两个不相等的实数根.
四、不解方程,求作一个新方程,使它的两个根分别是方程的两个根的倒
数的平方.
五、为何值时,关于x的方程的两个根都是正数.
六、取何值时,关于x、y的方程组有两个不相等的实数解.
七、A、B两地相距36千米,甲从A地,乙从B地同时出发,相向而行,二人相遇后,
甲再走2小时30分钟到达B地,乙再走1小时36分钟到达A地,求甲乙二人速度.
八、轮船顺水航行80公里所需的时间和逆水航行60公里所需的时间相同,已知水流的
速度是3公里/小时,求轮船在静水中的速度.
九、有一小型工程,如果甲队独自操作,正好在规定日期完工;如果乙队单独操作,则 需超过规定日期3天才能完成,现在由甲、乙两队合作2日后,再由乙队单独干,正 好按期完成,问规定日期是多少天?
十、一轮船上午顺流航行80公里到达某地,下午逆流返航,当行驶60公里处时与去时
用的时间一样多,当返回原地时,发现比去时所用时间多用小时,求轮船在静
水中的速度和水流速度?
【答案】
6
一、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
二、 三、 四、
五、 六、
七、甲每小时走8千米,乙每小时10千米 八、21
九、6天 十、21,3
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