1、
一元二次方程专项解析训练(八)
【例题精选】
例1：解下列方程
解：（1）由于系数数字较大，用公式法可以解，但会出现过大数字不好开方，造成不必要的困难，可考虑对450分解因数再用因式分解法解：
（2）先化为一般式原方程变形为：
（3）解法（一）：先化一般式原方程变形为：
即：．
解法（二）：换元法，设
则原方程变形为：
代入．
例2：解关于x的方程
解：化原方程为关于的一般方程为
例3：解下列方程：
解（1）由于
∴ 原方程可转化为 ．
整理后得
2、
设，则原方程变形为
即
解得
经检验都是原方程的解．
另解
直接用十字相乘也可得：
（2）
移项整理得
两边平方得
两边再平方得
经检验 x = 5是原方程的根，是增根（舍去）．
（3）
把原方程变形为
设 则原方程变为
由根据算术根的定义，这个方程无解．
经检验是原方程的解．
小结：无理方程可用换元法去解，换元时，将依据把根号外的代数式变成与根号里的代数式相同，配比时，只要保持平衡即可．
例4：解答下列各题：
1、为何值时，关于x的方程的根为零．
2、试
3、判定关于x的方程的根的情况，在有实数根的情况下，求出根的个数与m的值的关系：
解1：（一）由于方程的根是零，代入得： ∴
∴
（二）也可以先去分母得
整理后得
∵ 它的根是零．
即
∴ ．
解2：（1）当m = 1时，方程化为
（2）当时，原方程为一元二次方程
所以，当时，即时，
原方程有两个不相等的实数根；
当时，即时，
原方程有两个相等的实数根；
当时，即时，
原方程没有实数根．
注意：用时，必须在二次项系数不等于0的前提下才可以．
例
4、5：解答下列各题：
1、已知的两个实数根，求下列各式的值．
（1）
2、求作一个一元二次方程使它的两个根分别比方程的两个根大3．
3、关于的方程的两个实数根的倒数和为2，求m的值．
解1：（1）由根与系数关系得 ．
（2） ∵
∴ ．
（3）
解2：设方程的两个根分别为，则
得新方程为
依题题得
∴ 所求方程为．
解3：设方程的两个根为则
由题意得
代入得 整理得
当
∴ 舍去，因为方程为实数根
∴ 是所求的值．
【专项训练】：90分钟
5、一、解下列方程（组）：
二、取何值时关于x的方程有两个实数根．
三、求证关于x的方程对任意实数，永远有两个不相等的实数根．
四、不解方程，求作一个新方程，使它的两个根分别是方程的两个根的倒
数的平方．
五、为何值时，关于x的方程的两个根都是正数．
六、取何值时，关于x、y的方程组有两个不相等的实数解．
七、A、B两地相距36千米，甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行，二人相遇后，
甲再走2小时30分钟到达B地，乙再走1小时36分钟到达A地，求甲乙二人速度．
八、轮船顺水航行80公里所需的时间和逆水航行60公里所需的时间相同，已知水流的
速度是3公里/小时，求轮船
6、在静水中的速度．
九、有一小型工程，如果甲队独自操作，正好在规定日期完工；如果乙队单独操作，则 需超过规定日期3天才能完成，现在由甲、乙两队合作2日后，再由乙队单独干，正 好按期完成，问规定日期是多少天？
十、一轮船上午顺流航行80公里到达某地，下午逆流返航，当行驶60公里处时与去时
用的时间一样多，当返回原地时，发现比去时所用时间多用小时，求轮船在静
水中的速度和水流速度？
【答案】
6
一、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
二、 三、 四、
五、 六、
七、甲每小时走8千米，乙每小时10千米 八、21
九、6天 十、21，3
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