另类的“化圆为方”.doc

另类的“化圆为方”
泰州市朱庄中学 莫 莉 指导老师 CaoKQing

　　大约公元前5世纪，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个几何尺规作图问题：
　　1. 三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
　　2. 立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
　　3. 化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
　　这就是著名的几何尺规作图三大难题，它们在欧几里得（Euclid）的《几何原本》问世之前就提出了。

　　1637年，笛卡儿（Descartes）创建了解析几何，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年，旺策尔（Wantzel）给出三等分任意角及立方倍积不可能用尺规作图的证明。1882年，林得曼（Linderman）证明了π是超越数（即π不是任何整数系数多次式的根），从而确立了化圆为方尺规作图的不可能性。

　　本文研究的问题是“由两条圆弧围成的图形的面积是否都一定与π有关？”或者说得更具体一些：由两条圆弧围成的图形的面积是否都一定不能“化圆为方”？

　　如图1，点O是正方形ABCD的中心，以OA为半径的圆弧与以AD为直径的半圆围成一个新月形，我们来求这个新月形的面积：

图1
　　设正方形ABCD的边长为a，则OA＝.
　　因为Ｓ新月形＋Ｓ扇形OAD＝Ｓ半圆AD＋Ｓ△AOD，
　　所以Ｓ新月形＋＝＋Ｓ△AOD.
所以Ｓ新月形＝Ｓ△AOD＝.
也就是说，这个新月形的面积与无关。

　　接下来的问题是，这个结论能否推广到任何正多边形的情形？
　　我们考虑正六边形：如图2，点O是正六边形ABCDEF的中心，以OA为半径的圆弧与以AG为直径的半圆围成一个新月形，我们再来求这时新月形的面积：

图2
　　设正六边形ABCDEF的边长为a，则OA＝a.
　　因为Ｓ新月形＋Ｓ扇形OAG＝Ｓ半圆AG＋Ｓ△AOG，
　　所以Ｓ新月形＋＝＋
　　所以Ｓ新月形＝.
　　可见，这时新月形的面积与有关，因此不能推广到任何正多边形的情形。

　　既然一个新月形的面积都难与无关，那么两个不同的新月形面积的和能与无关吗？答案是肯定的！请看：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC 、CA为直径作半圆围成两个新月形。我们来求这两个新月形面积的和，设这两个新月形面积的和为Ｓ.

图3
因为Ｓ＋Ｓ半圆AB＝Ｓ半圆BC＋Ｓ半圆CA＋ＳRt△ABC，
　　所以Ｓ＋＝＋＋ＳRt△ABC.
　　根据勾股定理，得＝＋
所以Ｓ＝ＳRt△ABC.
也就是说，这两个新月形面积的和与无关！！！