三重积分的计算方法小结与例题.doc

三重积分的计算方法介绍：
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：
如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。
如果先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面之间，即，过z作平行于xoy面的平面截，截面。区域的边界曲面都是z的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)
（1） D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）
（2） D是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）
（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；
截面法（先二后一）： 是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算。因而中只要, 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：
补例1：计算三重积分，其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出及在xoy面投影域D. 2. “穿线”
X型 D：
∴：

3.计算

解2“截面法”1.画出。2. 过点z作垂直于z轴的平面截得。
是两直角边为x,y的直角三角形，
3.计算

补例2：计算，其中是和z=1围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出及在xoy面投影域D. 由消去z，
得即D：
2. “穿线”，
X型 D：
∴
3.计算
注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”
1.画出。 2. 过点z作垂直于z轴的平面截得：
：
用柱坐标计算

3.计算

补例3：化三重积分为三次积分，其中：所围成的闭区域。
解：1.画出及在xoy面上的投影域D.

由 消去z，得
即D：
2.“穿线”
X型 D：
：
3．计算
注：当为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算，其中为所围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算
由 化的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r
2.解 ∴D： 即
“穿线” ∴
3．计算
。
解2“截面法”
1.画出。如图：由围成。
2.
由z=r与z=2围成； ，：
：
由z=2与z=围成； ，：
：
3.计算 =
注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算，其中由不等式，所确定。
解：用球坐标计算。由得的边界曲面的球坐标方程：
P，连结OP=，其与z轴正向的夹角为，OP=。P在xoy面的投影为，连结，其与x轴正向的
夹角为。
∴：，，

=
=
三重积分的计算方法练习
1. 计算，其中是旋转面与平面z=2,z=8所围成的闭区域。
2. 计算，其中是锥面与球面所围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。