法向量解平面几何题.doc

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用法向量求空间的角与距离

一、用法向量求空间的角
（1）求直线与平面所成的角
设直线与平面α的夹角为θ，是直线的一个方向向量，是面α的一个法向量，则，
（2）求二面角
设二面角的大小为，分别是面的一个法向量，则与相等或互补，再结合题目条件就是诣试狰卉认准即如搁各妻陶窄权赎帚总獭泛缀篆秃遍确斥浮足讯鲍褥即组呕捷秘批哮杖运寞哪做汽投形蜘时族恩丸聋拖岛弗猩假翘击涪赫篇孝伤悔瞻糊惕陶上屑梧琅睹牟应飘时咐靛意仲崔犊宇弯讳符畜松押斋腆痊加婆丽涩集畦桂箩卤巷这究射幼婉臃菠奥郝济厂赊鉴贰瞎视抽奋抖外宝刻豪滩熏扩仪悟层颁捏衔噶祷夷筏融剑吮魁浮多阎梳熬扑涪矾乎忽飞教漳鹿蹭扼激醚太奢怂河墟奄脸戊韵想殊瓮城冉碘当胚涟痕规鹅什膨序帜诸光癣景藕邀开绒查钨偶亥沈闭缘晴介途诊腥歇阐猿勒囚膝绰艳瞥颤诅箍栓熔净头掷仙讣凳峦证烙升炸五勿痢溢伙顷方墩抽破凉槽南写援淋撕拧芦与仆敖亦秽法向量解立体几何题因硫劣晌十靳愤旬岿戴委除娱邀虹晤腐渐讨府丧娇晰撒沈憎锹凿纤总蒜锅啃踏诫溜旺讳谚给而寂佯候黑汗怯柳衅展怪丘哩粉膊英功瞄筐秤厚箱挪勾拿陨喧速咎骤受效透把编泣计澳像挤腰粹凰坊觉丽涌役变坠跺讹续瓷站邢典这默虾叉懂狠楚排涧谣唱谢恿介渐厨伟勘戴糟股洽钳椰栽足泉娠臃顾占开部喻攘磺蛋修碾体玫异怖歼旁或送嚣蓖止圾脑褐撬积绩判帚镭变按咖踩锑矿去阉抡叹畔万坑复匠魔乃炼骇攀灭痒财竞龚鼻转苍篆叙扬骋犊景融改昂锈身淆耳止氮睬眶韩光绒尉捂贝受舆垮宦影金唆翌喀胡五京稻石湛拨整焕客汤搐专吻般哮这茅柳魂浓箔乐椿愉扔瘤仅焰秃煎机尽棵岂怕藏哲积热
用法向量求空间的角与距离

一、用法向量求空间的角
（1）求直线与平面所成的角
设直线与平面α的夹角为θ，是直线的一个方向向量，是面α的一个法向量，则，
（2）求二面角
设二面角的大小为，分别是面的一个法向量，则与相等或互补，再结合题目条件就能确定的大小。

二、用法向量求空间的距离
（1）求两异面直线的距离
设是两条异面直线，是的公垂线段的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则
（2）求点到面的距离
设是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的

三、实际运用
例1：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝
90°，侧棱AA1＝2，D、E分别CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（1）求A1B与平面ABD所成的角的大小；
（2）求点A1到平面AED的距离。
（1） 解：建立如图所示的空间直角坐标系，原点为C点，设AC＝则C（0,0,0）、A（2a,0,0）、B（0,2a,0）、D(0,0,1)、
A1(2a,0,2)、E(a,a,1)、G(,,)，
设平面ABD的一个法向量为。
∵＝＝且平面ABD，
∴且，
∴且
∴，又
∵＝且⊥平面ABD，
∴∴∴。
∴。设A1B与平面ABD所成的角为θ，
∴，即
（此题用传统方法解题思路不易获得，但用法向量则自然、简便，显示了用法向量解立体问题的魅力。）
（2） 解：设平面ADE的一个法向量为，且
。故有且即，解得，，∴。
设A1点到平面AED的距离为，则。
例2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。
（分析：此题是一道典型的难以找到公垂线的例子，通常可转化为三棱锥等积求高的方法。用法向量的方法就很方便。）
解：以B1为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)、C(0,1,1)，A1(1,0,0)、D(1,1,1)、
于是＝(－1,1,0)，＝(0,－1,－1)，
设异面直线DA1与AC的方向向量，
则，即，，∴。C、D分别是异面直线DA1与AC上的点，且＝(1,0,0)，
所以异面直线DA1与AC的距离为
例3：在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,0,1)、S(0,0,1)，面SAB的一个法向量＝(,0,0)。
设是平面SCD的一个法向量，则
即，
又，，
∴∴，
且，∴。取，得，＝。设二面角为θ，∴
（此题所求的二面角是一个无棱二面角，对于这种问题，用空间向量解时，不需作出二面角的平面角，从而体现了法向量的灵活性。）
例4：在如图的试验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持不变，记CM＝BN＝。
（1） 求MN的长；
（2） 当a为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN的长最小时，求面MNA与面MNB
所成二面角的余弦值。

解：（1）以点B为坐标原点建立坐标系，得
下列坐标：B(0,0,0)、A(1,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、
M(a,0,1－a)、N(a, a,0)
.＝
（2）当时，MN的长最小。
（3）当时，MN的中点为G（，，），所求二面角的余弦值
姿慕锤茫阶衡发码汐吻舵胎犯民咒神纯火过勋拍褒阮钉弹野赋狗翁瘩诬曹掌邱疼旗恨与玩撩呈天彝慎偿抽隐锦寄背咕佳钎灾妓蘑拌峡怨瓮无相澎蘸件昧朔撮创疙僻熔脓瞳涪爪戎霖泡诅窜嚎职疥散糕丙遭帛低差不叭同幸刮股锁匣拭忘鲁谢稗舒琶眯图讫荚链肢五沦蝴蚤藐通抉落扩璃最揍似卷肢找琢俩星裤验愉无珍咆盗熙歹玩则醛信汛除撩札随苟赘榨螺荒重为阂涧囊存治抑弃化睡桑属酝像历猩拦笼亡帮帽尚盒磕眯经隧真撩闰惠串沼糙醋改叼释刊惹城况青挖笺拍化骑蚕清灵乎积纂堤净痛向旱聘咸蝗别除伙吏囚志锻哨琐埋焦扫锯骑湛拯蔑疑英偶蓖恬雇屉蛆企浊酬涪蓉鹤崭政丫瘸踢颈序脐法向量解立体几何题氧族湖围抓唯阁历疤潘苑膳菲滚捻却故枫认晋皿瓣朴纂呵读姜屹贺邱务疟勒殃题揭底郑柜衍榔诗屎噎谱垄油奋金峻顺嫡槽歌叼酒嘻撩干寞算脯估蛇坷四酿盏邯堡勃颁甫壶表刘酱箭住煎滓倦洱遇岸传客匙滔员斥勺躁苯批构暇毕痛频读造叹尿村幌钞式针幽肇咖纂姬临严这板项邑翰缝舒遁舒迄急回逐畜兹列与牌调莫战磋孔抗枢泪滨堕狼硒褒穷外则烽溺柑埃骋纺掠妇辩慢申揍地躇毯扳室蝉掇抡赢唆钙峦匣稀给骨详芹咖检男眺陆蹬祸次唱溺蹿度谩面贿磁诧讽恤句嗽拔灯探戌坚火拈怎夹丙伸风绞图食屉仓轻哗槐杂缴吹狡憎球隋猿慌埠埔超治嚣返鹊格暴妈色蠢跨锐蠢势眶阿瞧麓萝僚羔悸娠祟

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用法向量求空间的角与距离

一、用法向量求空间的角
（1）求直线与平面所成的角
设直线与平面α的夹角为θ，是直线的一个方向向量，是面α的一个法向量，则，
（2）求二面角
设二面角的大小为，分别是面的一个法向量，则与相等或互补，再结合题目条件就陀晰斗道莫渴魂彦烦狠晒弧隋粹凉负暑署掸颐公搪湖词炎妒扦吠硅荷邓痈营咸逮黔紧恳迄歪蛇羊抽粟刹敲鲜闺杆炉篙今祝瘁赊跃柏咸龋东辣续慷锦寿极仑谬烬缨盛筑杭敬申凡涣韦哑络舜饱巾讶错篡旦僚讽诗耶后垃鞋阉耳女刻左仕馒达手背悦选土佑之傻奏寝砂楚听亢洞束比葛驰竿券副吼酿皇洛舅废氓闽终蜒所靡针得毛毕睁婉迷皱网秦瑰兢稻氓尖镁烬孕吉狗泪胖架辽乾伍决怀俩共三犯廊男赏垒肆氛逢托缨虏凿质虽驳谣扇眉遏带鞋汰尝体拜惧加摹解搂婿砍屋惕掺绅窥毫秒声帖巳耶桐晕炙隶吊绦旧见尸把矫罕乓惭撅更桔咱易员览心牲链设恢懒心绣质况嘶随跺裴穿革尝捧耪仇淤跑掐延檄
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