资源描述
与三角形有关的线段
知识点1 三角形的有关概念
(1)三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
(2)三角形的特征：
①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.
(3)三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.
知识点2 三角形的三边关系
(1)三角形任意两边之和大于第三边，(根据：两点之线段最短)
(2)三角形任意两边之差小于第三边，说明：这里的“两边”指的是任意的两边，“两边之差”可能是正数，也可能是负数，一般地，取“差”的绝对值，
知识点3 三角形的角平分线
(1)定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
(2)如图所示：
AD是∠BAC的角平分线→∠1 =∠2 =∠BAC.
反之，∠1 = ∠2 =∠BAC.(或∠BAC=2∠1=2∠2) →AD是∠BAC的角平分线.
(3)画法：三角形的角平分线画法与角的平分线的画法相同，可以用量角器，
(4)角平分线是一条线段.
(5)三条角平分线相交于一点，这点称为三角形的内心，它到三边的距离相等，
知识点4 三角形的中线
(1)定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
(2)如图所示：
AD是边BC上的中线
→BD = DC =BC或BC=2BD =2DC
反之，BD= DC=BC(或D为BC的中点)，AD是△ABC的一条中线.
(3)画法：画三角形中线时只需连接顶点及对边中点即可.
(4)图中，.
知识点5 三角形的高
(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
(2)高线叙述法：
AD是△ABC的高，也可叙述如下：
①AD是△ABC的BC边上的高.
②AD⊥BC，垂足为D.
③D在BC上，且∠BDA =∠CDA =90°.
(3)三角形高线的画法：如图①、②、③所示.
说明：①三角形的高线是一条线段.
②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形内部，它们的交点是直角顶点.
③三角形的三条高交于一点，这一点叫三角形的垂心.
知识点6 三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形稳定性.
一、选择题
1.要组成一个三角形，三条线段的长度可取( )
A. 1，2，3 B. 4，6，11 C. 5，6，7 D. 1.5，2.5，4. 5
2.△ABC中，三边长为6，7，x，则x的取值范围是( )
A. 2 <x < 12 B. 1 <x < 13 C.6<x<7 D.无法确定
3.如图所示，△ABC中，∠B =55°， ∠C=63°DE∥BA，则∠DEC等于 ( )
A. 63° B. 62° C. 55° D.118°
4.如图所示，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法中不正确的是( )
A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线
C. AD = DC ， BE = EC D.图中∠C的对边是DE
5.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则S阴影为( )
A.2cm2 B.1 cm2 C.cm2 D.cm2
6.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，表示它们之间关系的是( )
7.如图所示，在△ABC中，∠1 =∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有 ( )
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高.
A. 1个 B.2个 C.3个 D.0个
8.已知一个三角形中，两条边的长为3 cm和5 cm，第三边的长是一个偶数，那么第三边的长为 ( )
A. 2 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 7 cm
9.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形 ( )
A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形
10.几以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( )
A. 2 cm、2 cm 、4 cm B. 2 cm 、6 cm、3 cm
C. 7cm 、6 cm 、3 cm D. 11 cm、4 cm、5 cm
11.三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形各角的度数是 ( )
A. 45°、45°、99° B.30°、60°、90°
C. 36°、72°、72° D.25°、25°、130°
12.如图所示，分别是△ABC的外角，，则∠ACB等于( )
A.20° B. 30° C.40° D.80°
13.在△ABC中，∠A =2∠B=75°，则∠C等于( )
A. 30° B. 67. 5° C. 105° D. 135°
14.若三角形的三边长分别为1，a，8，且a是整数，则a的值是 ( )
A.6 B.7 C. 8 D. 9
15.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D， CE ⊥AB于点E，AD、CE交于点O，若∠B=40°，则∠DOC等于( )
A. 47° B. 40° C. 45° D. 44°
16.如图所示，l1∥l2， ∠1 = 130°， ∠2 = 110°，则∠ACE等于( )
A. 50° B.55° C.60° D. 65°
17.如图所示，已知∠A =32°， ∠B =45°， ∠C =38°，则∠DFE等于( )
A. 120° B. 115° C. 100° D. 105°
18.如图所示，工人师傅砌门时；需用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是 ( )
A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性
19.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么他怎样最省事 ( )
A.带①和②去 B.带①和③去 C.只带③去 D.只带①去
20.三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长的取值范围是 ( )
A. 3 <l <7 B. 9 < l < 12 C.10< l <14 D.不能确定
21.适合∠A =∠B=∠C的△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
22.直角三角形两锐角平分线相交所成角的度数为( )
A. 45° B. 135° C.45°或135° D.以上都错
23.如图所示，将一副直角三角板的直角顶点重合后叠放在一起，如果∠1 =40°，那么∠2= ( )
A. 30° B. 40° C. 60° D. 50°
二、填空题
1. 如图所示；图中有 个三角形，它们是 ， ∠ACD是 的内角.
2.已知三个三角形的边长分别是5，3，4;5，5，7和6，6，6，则这三个三角形分别是 三角形， 三角形和 三角形.
3.一个三角形的两边长分别是1.5 cm和6.5 cm，第三条边长为奇数，则这个三角形的周长是 .
4.如图所示，BM是△ABC的中线，已知AB =5 cm，BC=3cm，则△ABM与△CBM的周长差是 .
5. 在△ABC中， 若∠A +∠B =∠C，则△ABC是 三角形，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是 三角形.
6.在等腰三角形中有一个角为40°，则另两个角分别为 .
7.一个三角形的三个内角之比为1 :2:3，则三个内角分别为 .
8.如图所示，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，如果AC = 10 cm，则AE = cm， 如果∠ABC=60°，则∠ABD = .
9.如果a、b、c是三角形的三条边，那么|a-b-b|+|b-a-c|= .
10.有四条线段的长分别为5 cm，6 cm，8 cm，13 cm，以其中任意三条线段为边可构成 个三角形.
11.如图所示，BD =DE=EC，则图中共有 个三角形，AD、AE分别是△ 和△
的中线；面积相等的三角形有 .
12.如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .
13.如图所示，已知AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5cm，AC=3 cm.则△ABD与△ACD的周长之差为 ，△ABD与△ACD的面积关系 .
三、解答题
1.如图所示，其中共有多少个三角形？分别是什么？
2.如图所示中，三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
3.如图所示，∠BAD = ∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？
4.已知：正整数a、b、c，a < b < c，且c最大为6，问是否存在以a、b、c为三边长的三角形？若存在，最多可组成几个三角形？若不存在，说明理由.
5.下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形，
(1) a -3，a，3 ( a > 3) ;
(2) a，a +4，a + 6( a > 0) ;
(3) a，b，a + b( a >0，b > 0)
(4)a + 1，a + 1，2a(a >0) .
6.已知三角形的两边的长分别是2 cm和7cm， 第三边的数值是偶数，求这个三角形的周长.
7.如图所示，点B、C、D、E在同一条直线上，图中共有几个三角形？表示出这些三角形，并写出它们的边和角.
8.已知在△ABC中，∠B =70°， ∠BAC: ∠BCA =3 :2，CD⊥AB于点D，求∠ACD的度数.
9.如图所示，∠A =60°， ∠B =30°， ∠C =20°，求∠BOC的度数.
10.在△ABC中，已知∠A - ∠B =30°， ∠C =4∠B，求∠B、∠C的度数.
11.如图所示：
(1)指出图中共有哪几个三角形？
(2)AC是哪些三角形的边？
(3)若AB⊥CD，垂足为D，则CD是哪些三角形的高？
(4)若E是BC的中点，则AE是哪个三角形的中线？
12.如图所示，△ABC中，BD是中线，AB =6 cm，BC=5cm，求△ABD的周长与△DBC的周长差.
13.如图所示，P是△ABC内任意一点.
证明：(1)AB+AC>PB +PC；(2) ∠BPC>∠A.
14.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，且∠ABC+ ∠ACB= 130°，求∠BOC的度数.
15.在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门AB冲近，如图所示，你知道这是为什么吗？
16.如图所示，四个村庄分别位于A、B、C、D，现在要打口深水井O，使它到四个村庄铺设的水管最节省，那么这一深水井必须位于AC和BD的交点上，为什么？
17.如图所示，已知OA =8，P为射线ON上一动点，即P可在射线ON上运动，∠AON=60°.
(1)OP为多少时，△AOP为等边三角形？
(2)OP为多少时，△AOP为直角三角形？
(3)OP满足什么条件时，△AOP为锐角三角形？
(4)OP满足什么条件时，△AOP为钝角三角形？
8.如图所示，已知在Rt△ABC.中，∠ACB =90°，CD是AB边上的高，AB = 13 cm，BC= 12 cm，AC =5 cm，求：
(1)△ABC的面积；(2)CD的长.
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