实数概念和数的开方.doc

教学内容
一．知识点梳理
（一）．实数的相关概念：
1.无限不循环小数叫做无理数。
2.正无理数：
3.负无理数：
4.有理数和无理数统称为实数。
（二）．实数的分类：
实数

（三）．数的开方：
1. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2. 算术平方根概念：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a
3.平方根与算术平方根的区别与联系：

平方根
算术平方根
定义
如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根
正数的正的平方根叫做的算术平方根
表示

区别
正数的平方根有两个，并且互为相反数
正数的算术平方根只有一个,是正数

联系
（1）中的取值范围为非负数
（2）正数的正的平方根就是的算术平方根
正数的负的平方根是的算术平方根的相反数
（3）0的平方根是0
（1）中的取值范围为非负数
（2）正数的算术平方根就是的一个
平方根（正的平方根）
（3）0的算术平方根是0

4. 开平方：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。
5. a是非负数，则也是非负数。
6. 求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根
7.立方根和开立方
1.任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。
2.数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。
3.求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

二．例题解析
例1 选择题
1．在下列实数中，是无理数的为（　　）
Ａ．；　　 　Ｂ．；　　　 Ｃ．；　　 　Ｄ． ．
2．下列说法中正确的是( )
A.的平方根是±3； B.1的立方根是±1；
C.=±1 ； D. 是5的平方根的相反数．
3．在中，无理数的个数是（ ）
A．1； B．2； C． 3； D．4．
4．无理数是（ ）
A．无限循环小数； B．开方开不尽的数；
C．除有限小数以外的所有实数； D．除有理数以外的所有实数．
5．数的小数点向右移动三位，它的立方根的小数点就（ ）
A．向右移动两位；B．向右移动一位； C．向左移动一位； D．向左移动三位．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根是±6 ； B．的平方根是±2；
C．|－8|的立方根是－2 ； D．的算术平方根是4．
7．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3 ； B．0.4的平方根是±0.2；
C．－x2一定没有平方根； D．x2+1一定有平方根．
8．实数中中，分数的个数是（ ）
A．0个； B．1个 ； C．2个 ； D．3个
9．下列说法错误的是（　　）
Ａ．负数不能开偶次方；　　　　Ｂ．有理数和无理数统称实数；
Ｃ．1的五次方根是1；　　　　Ｄ．16的四次方根是2．
10．如果是的算术平方根，则的平方根是（　　）
Ａ．　；　　Ｂ．　；　　Ｃ．　；　　Ｄ．．

例2 填空题
1．在3.14，，，，，，，0.2020020002…，，中，有理数有________________________，无理数有_________________________．
2．写出一个3到4之间的无理数 ．
3．写出两个和为1的无理数　　　　　（只写一组即可）．
4．的平方根是_______，的算术平方根是_________，－的立方根是_________. 5．从1到100之间所有自然数的平方根的和为________．
6.若，则的所有可能的值是__________.
7．若（）与（）是一个数的平方根，则这个数是_______．
例3 解答题：
1．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根和立方根．

变式：已知是的平方根，也是的立方根，求的平方根和立方根．

2．已知A＝是a＋2的算术平方根，B＝是2－b的立方根．求3A－2B 的立方根．

3．物体从某一高度自由落下，物体下落的高度s与下落的时间t之间的关系可用公式s=gt2表示，其中g=10米/秒2，若物体下落的高度是180米，那么下落的时间是多少秒？

考点：实数的估算
例4 选择题
设，则下列结论正确的是（　　）
Ａ．； Ｂ．； Ｃ．； Ｄ．．
例5 填空题
1．在两个连续整数a和之间，<<， 那么，的值分别是 ．
2．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是　　　　　．
3．设的小数部分分别是，，则的值是 .

考点：双非负性应用

例6
1．若,则m=_______,n=________.
2．已知＋|2x－3y－18|＝0，则的立方根是_____________．
3．设、为实数，且，则的值是_________．
4．已知实数满足，求的值．

5．已知实数满足，求的值．

＊ 6．若实数、满足，求的值．

例7 计算：=______，=______， =______，=______，
　 =______，=______.
　　根据计算结果，回答：
　　(1)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算: ①若，则 ;
②=_____ .

例8 已知9、16，若有第三个数，使这三个数中其中一个数是另两个数乘积的平方根，请求出符合条件的的值．

例9 已知为有理数，且，求的值．

巩固练习
一、选择题
1． 有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；
（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；
（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则（ ）
A．8 B．±8 C．±2 D．±8或±2
二、填空题

5．在，，，，，0，，，中，其中：
整数有 ；
无理数有 ；
有理数有 。
6．的相反数是 ；绝对值是 。
7．在数轴上表示的点离原点的距离是 。
8．若有意义，则= 。
9．若，则±= 。
10．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 。
11．把下列各数填入相应的集合中（只填序号）：
① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧
有理数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝
12．36的算术平方根是 ，1.44的平方根是 ，11的平方根是 ， 的平方根是，的算术平方根是 ， 是 的平方。
13． 的相反数是 、倒数是 、绝对值是 。
14． 满足的整数是 .
15． 一个正数的平方等于144, 则这个正数是 , 一个负数的立方等于27,
则这个负数是 , 一个数的平方等于5, 则这个数是 .
16．9的算术平方根是 ___、3的平方根是 ___, 0的平方根是 ___,-2的平方根是 .
一
三、判断题
（1）带根号的数一定是无理数（ ）； （2）无理数都是无限小数（ ）；
（3）无理数包含正无理数、0、负无理数（ ）；（4）4的平方根是2（ ）；
（5）无理数一定不能化成分数（ ）； （6）是5的平方根（ ）；
（7）一个正数一定有两个平方根（ ）； （8）25的平方根是（ ）
（9）互为相反数的两数的立方根也互为相反数（ ）；
（10）负数的平方根、立方根都是负数（ ）；
（11）①无理数是无限小数（ ）；②无限小数是无理数（ ）；③开方开不尽的数是无理数（ ）；④两个无理数的和是无理数（ ）；⑤无理数的平方一定是有理数（ ）；

计算题
11、　　　　　　　　　　12、

13、 14、＋

四、求下列各式成立的条件
15、 16、

五、简答题
17、已知实数n<m<0 ，比较m、、m－n的大小.

18、，，且求x－y的值.

课后作业(懋秀)
一、填空题：
1. 3.1415是_______数；是_______数。
2. 36有 个平方根，它们是 .
3. 4的平方是 ，－4的平方是 ，4的平方根是 .
4. 如果a的一个平方根是－，那么a＝ .
5．的平方的平方根为 .
6．0.25的平方根是 ，6的平方根为 ，（－16）2的平方根是 .
7．已知x2＝32，那么x＝ .
8．若x2＝y，则 是 的平方根.
9． 的平方根等于它本身.
二、选择题
1. 数是( )
A、有限小数 B、有理数 C、无理数 D、不能确定
2.在下列各数：、、、、、、、中，无理数的个数是 ( )
A、2 B、3 C、4 D、5
3. 下列说法错误的是 ( )
A、无理数的相反数还是无理数 B、无限小数都是无理数
C、正数、负数统称有理数 D、实数与数轴上的点一一对应
4．下列说法中错误的是…………………………………（ ）
（A）4的平方根是2 （B）2是4的平方根
（C）－1是1的负的平方根 （D）1的一个负的平方根是－1
5．下列说法中正确的是…………………………………（ ）
（A）任何数的平方根都有两个 （B）只有正数才有平方根
（C）负数没有平方根 （D）平方根不可能是负数
三、解答题
1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.
（1）=-7; （2）=2; （3）-=5; （4）=±9

2．求下列各数的正的平方根：
（1） 225； （2）0.0001； （3） .

3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.

四、求下列各数的平方根
1、81 2、 2

3、0.0289 4、（－3）2

五、求下列各式中的x
1、x2＝0.04 2、x2－＝0

3、16－25x2＝0 4、x2－8＝0

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