勾股定理的证明及简单应用(一).doc

初二数学（2014暑假） 让孩子从优秀到卓越
勾股定理的证明及简单应用

知识要点
1、直角三角形中，直角所对的边叫做斜边，是直角三角形中最长的边。互相垂直的两条边叫做直角边。在我国古代，人们把短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。
a
b
c
一般地，如图，∠A所对的边，用a表示。∠B所对的边用b表示，
∠C所对的边用c表示。当∠A=RT∠时，a表示斜边，当∠B=RT∠时，
B表示斜边，∠C=RT∠时，c表示斜边。

2、 勾股定理：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
即
特别地，勾股定理的运用，必须找准斜边，即直角所对的边，
当没有明确的直角时，斜边为三边中最长的边。

3、 勾股定理的简单证明：
如图，已知△ABC中 ∠A
C
B
D
E
C为直角，BC=a,AC=b,AB=c.延长AC
到E，使AE=BC，过E作CE的垂线DE交CE于点E，取DE=AC。连接AD,BD
求证：

4、基本勾股数
若a、b、c均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式时，我们称（a、b、c）为基本勾股数组。记一记： ， ，，，，，…均为基本勾股数组。写出下表的勾股数从中发现什么规律？

3，4，5
5，12，13，
7，24，25
8，15，17
9，40，41

2倍
6，8，10

3倍

15，36，39

27，120，123

4倍

28，96，100

5倍

40，75，85

N倍时，对于任何满足的a、b、c，都成立吗？试证明！

5.解题技巧。
（1）利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。
（2）作辅助线构造直角三角形解题。
（3）30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。
（4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。

【典型例题】
例1．已知一个直角三角形的两直角边分别是6、8，那么斜边长是多少？

例2．在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5,b=12，则c= 。 （2）若b=7,c=9，则a2= 。
（3）若c=10,a:b=3:4，则a= ，b= 。
（4）若a=b，c=m，则a2= ，S△ABC= 。
（5）若a=b=m，则c2= ，S△ABC= 。

例3．等腰三角形腰长为17cm,底边长为16cm,求底边上的高。

例4.如图Rt△ABC中 ∠C为直角，∠B=60°，CD垂直AB，若BC长为a，用a表示
AB,AC,CD,BD的长度，并且求出BC:AC:AB的值。若∠B=45°呢？

例5．求下列直角三角形中未知边a,b的长度（如下图所示）

15
b
16
12
24
26
6
a

【课堂练习】
1．在中，若的度数比是5：2：3，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
（1），，； （2），； （3），，；
（4），，。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ）
A．5，12，13 B．7，24，25 C．8，15，17 D．4，6，9
4．一个直角三角形三边长为连续自然数，则这三个数为（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3 ，4，5 D．3.5，4.5，5.5
5．下列语句：
（1）若△ABC中，，则△ABC不是直角三角形；
（2）若△ABC为直角三角形，∠C=90°，则；
（3）若△ABC中，，则∠C=90°；
（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方，
则此三角形为直角三角形”其中正确的个数是（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为（ ）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．8

60°
D
C
B
A
7.如图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC和AD的长。

8.如图，A、B是笔直公路同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为300和500，两村庄之间距离为，现要在公路上建一汽车停靠点，使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少？
B
A
D
C
l

A
C
D
E
B
9.如图，已知△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9，AC=7，BC=8，求DE的长。

10.如图为一圆锥，已知∠AOB=60°，OA=4，C为OB的中点，求点A沿圆锥表面运动到点C的最短距离。
O
B
A
C
·
60°

勾股定理作业
1．在△ABC中，∠C=90°。
（1）若a=2，b=5，则c= 。
（2）若c=61，b=60，则a= 。
（3）若，，则a= ，b= 。
2．边长为4的等边三角形的面积等于 。
3．等边三角形一边上的高为6，则它的边长等于 。
4．直角三角形的两直角边为6、8，则斜边上的高等于 。
5．直角三角形的两边长为5、12，则另一边的长为 。

6．已知△ABC中，AB=AC，AB=6cm，BC=4cm。求（1）S△ABC （2）腰AC上的高BE。

7．如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面积。

A
B
C
D

8．如图所示，已知四边形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，DC=12cm，BC=13cm，且AB⊥AD。求四边形ABCD的面积。

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