山东省重点高中学生学习能力数学与逻辑测评试题.doc

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山东省重点高中学生学习能力数学与逻辑测评试题
（考试时间：90分钟，总分100分）
一、选择题：本大题共6小题．每小题8分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数(其中i为虚数单位) ，则=
（A）1 （B） （C） （D）
2. 已知集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射中，集合A中的元素有不同像的概率为
（A） （B）
（C） （D）
3.已知两个等差数列的前n项和分别为，，则等于
（A） （B） （C） （D）
4．不等式组 表示的平面区域上整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)的个数为
（A） （B） （C） （D）
5. 已知在平面四边形ABCD中， ，且，则AC的长为
（A） （B）
（C） （D）
6. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如定义函数则下列命题中正确的个数是
①函数的最大值为1；
②方程有且仅有一个解；
③函数是周期函数；
④在区间上是增函数的充要条件是存在整数k，使得.
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D）4
选择题答题处： 1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( )

二、解答题：本大题共4个小题.每小题13分，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
7．已知空间两条异面直线a,b成角，求过空间一点A与a,b都成角的直线的条数.

8．设直线l过椭圆的左焦点F1（−c，0），且与椭圆交于点A、B，与y轴交于点P，若，求证为定值，并求出定值.

9．对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去.现定义
（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的取值范围.

10．已知函数，，其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

山东省重点高中学生学习能力数学与逻辑测评试题答案
（考试时间：90分钟，总分100分）

一、选择题：本大题共6小题．每小题8分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1(A). 已知复数为三次单位虚根，所以.
2(B). （仿2013复旦千分考数学试题编制）.
3(D).因为.
4(D). 画出约束条件表示的平面区域，归纳可得整点个数
.
5(C). 因为，
又四边形ABCD与三角形BCD共圆，且AC是外接圆直径，
所以 .
6(B). 不难画出，函数的图像是一组过原点斜率为1，周期为1的左闭右开的线段.所以①②错误，③④正确.

二、解答题（每题13分，共52分）
7.解析：设过空间一点A与a,b都成角的直线的条数为k，
①若时，当时，k=0；
当时，k=2；
当时，k=4；
当时，k=1. ……….4分
②若时，当时，k=0；
当时，k=1；
当时，k=2；
当时，k=3.
当时，k=4；
当时，k=1. ……….13分
8.解析：由题设知直线l的斜率存在，故可设l的方程为，
设，A（）、B（），则，
由题设 ；同理 . ……….4分
由 得 ，
所以
化简得 . ……….13分
9. 解析：（Ⅰ）的定义域
数列只有三项：. ………. 3分
（Ⅱ）
即当
故当当 ……….6分
（Ⅲ）解不等式，得或
要使则，或. 
对于函数，
若，则
当时，且，依次类推.
可得数列的所有项均满足
综上所述，由，得 ……….13分
10.解析：（I）因为，
所以，
因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，
由，得
法一：，
当且仅当时取等号.
又 时，；时，，所以.
但是时，有在上有两个相等的实根，故舍去，
所以. ……….6分
法二：因为 ，
所以 当时，；当时，.
因此，当时，k的最小值为.以下略. ……….6分
（II）当时，有；
5
x
y
O
y=q’ (x)
当时，有，因为当时，不合题意，因此.下面讨论的情形，
（ⅰ）当时，=在上单调递增，
如图所以要使成立，只能，因此有.
（ⅱ）当时，在上单调递减，
所以要使成立，只能，因此有.
综合（ⅰ）（ⅱ）. ……….13分