数学-科学的王后与仆人.doc

数学: 科学的王后和仆人
Mathematics: Queen and Servant of Science

北京理工大学 叶其孝

本文的题目是已故的美国科学院院士、著名数学家、数学史学家和科普作家 Eric Temple Bell(贝尔, 1883, 02, 07 ~ 1960, 12, 21)于1951年写的一本书的书名Mathematics: Queen and Servant of Science (数学: 科学的王后和仆人). 该书主要是为大学生和非数学领域的人士写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性.

The Mathematical Association of America, 1996, 463 pages

实际上这是他1931年写的The Queen of the Sciences (科学的王后) 和1937年写的The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆)
这两本通俗数学论著的合一修订扩大版.

Eric Temple Bell Alexander Graham Bell (1847 ~ 1922)

按常识的理解, 女王是优美、高雅、无懈可击、至尊至贵的, 在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点, 简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理, 极其优美而且无懈可击; 另一方面, 科学和工程的各个分支都在不同程度上大量应用数学, 这时数学科学就是仆人, 这些仆人是否强有力, 用起来是否得心应手是雇佣这些仆人的主人最为关心的事. 事实上, servant 这个字本身就有“供人们利用之物, 有用的服务工具”的意思. 毫无疑问, 我们的目的不是为数学争一个好的名分, 而是想说明数学是怎样通过数学建模来解决各种实际问题的; 数学(数学建模)的极端重要性, 以及探讨正确认识和理解数学科学的作用对于发展我国科学技术、经济以及教育, 从而争取在21世纪把我国真正建设成为屹立于世界民族之林的强国，乃至个人事业发展的至关重要性. 当然, 我们也希望说明王后和仆人集于一身并不矛盾. 历史上, 很多特别受人尊敬的科学家, 不仅仅是由于他们的科学成就, 更因为他们的科学成就能够服务于人类.
数学是科学的王后, 算术是数学的王后. 她常常放下架子为天文学和其他科学效劳, 但是在所有情况下, 第一位的是她(数学)应尽的责任.
(高斯)
Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences, but under all circumstance the first place is her due.
— Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯,
1777, 4, 30 ~ 1855, 2, 23)
From: Bell, Eric T., Mathematics: Queen and Servant of Science, MAA, 1951, p.1; Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. xv.
***************************************************
自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展
紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.
数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素
(仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、
相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、
现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物
学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世
纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供
一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他
科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设
计的基础. 数学是幕后的无名英雄.
现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间,
在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地
相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的
发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅
是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”.
但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取
得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关
重要的.
硬能力
“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”
“正在丢失的硬实力”, 鲁 鸣, 《青年文摘》2011年第5期

动向：美国很多州新办STEM高中, 一些大学开始开设STEM课程等.
STEM = Science + Technology + Engineering +
Mathematics

2012年2月7日公布的美国总统科技顾问委员会给总统的报告，参与超越：培养额外的100万具有科学、技术、工程和数学学位的大学生 (Engage to Excel: Producing One Million Additional College Graduates with Degrees in Science, Technology, Engineering, and Mathematics)
The Mathematical Sciences in 2025, the National Academies Press, 2013
人们使用的数学科学思想、概念和方法的范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展. 21世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上.
This major expansion in the uses of the mathematical sciences has been paralleled by a broadening in the range of mathematical science ideas and techniques being used. Much of twenty-first century science and engineering is going to be built on a mathematical science foundation, and that foundation must continue to evolve and expand.

数学科学是日常生活的几乎每个方面的组成部分. 互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、所有类型的数字通信、商业和军事中的优化问题以及金融风险的分析 —— 普通公民都从支撑这些应用功能的数学科学的各种进展中获益，这样的例子不胜枚举.
The mathematical sciences are part of almost every aspect of everyday life. Internet search, medical imaging, computer animation, numerical weather predictions and other computer simulations, digital communications of all types, optimization in business and the military, analyses of financial risks — average citizens all benefit from the mathematical science advances that underpin these capabilities, and the list goes on and on.

调查发现: 数学科学研究工作正日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分. 这种研究工作涉及最广泛意义下数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用. 所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，而且这种事实应该对作为整体的数学科学的资助性质和资助规模产生影响. 数学科学的教育也应该反映数学科学领域的新的状况.
Finding: Mathematical sciences work is becoming an increasingly integral and essential component of a growing array of areas of investigation in biology, medicine, social sciences, business, advanced design, climate, finance, advanced materials, and many more. This work involves the integration of mathematics, statistics, and computation in the broadest sense and the interplay of these areas with areas of potential application. All of these activities are crucial to economic growth, national competitiveness, and national security, and this fact should inform both the nature and scale of funding for the mathematical sciences as a whole. Education in the mathematical sciences should also reflect this new stature of the field.
****************************************************************
为了以下讲述的方便, 我们先来了解一下什么是
数学建模.
数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.
数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.
数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.

数学建模是数学用来解决各种实际问题的桥梁.

观察、分析实际问题
↑→→→→→→→→↓
抽象、简化，确定变量和参数
↑ ↓
利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系 (数学问题, 这个层次上的一个数学模型)
↑ ↓
解析或“近似”地求解该数学问题(数学模型)
↓
解释、验证、预测和发现新的现象
↑ ↓
←←←←← 通不过↓
↓通过
可应用该数学模型来预测或模拟(仿真)

定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程

数学建模的难点
观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似) 解法;
如何验证模型.
简言之:
合理假设、模型建立、模型求解、解释验证.
记住这16个字, 将会终生受用.
数学建模的重要作用：源头创新

当然数学建模也有局限性, 不能单独包打天下, 因为实际问题是非常复杂的, 需要多学科协同解决.
在图灵(A. M. Turing)的文章: The Chemical Basis of Morphogenesis (形态生成的化学基础),
Philosophical Transactions of the Royal Society of London (伦敦皇家学会哲学公报), Series B (Biological Sciences), v.237(1952), 37-72.
1. 一个胚胎的模型. 成形素
本节将描述一个正在生长的胚胎的数学模型. 该模型是一种简化和理想化, 因此是对原问题的篡改. 希望本文论述中保留的一些特征, 就现今的知识状况而言, 是那些最重要的特征.
1. A model of the embryo. Morphogens
In this section a mathematical model of the growing embryo will be described. This model will be a simplification and an idealization, and consequently a falsification. It is to be hoped that the features retained for discussion are those of greatest importance in the present state of knowledge.
想单靠数学建模本身来解决重大的生物学问题是不可能的，另一方面，想仅仅依靠实验来获得对生物学的合理、完整的理解也是极不可能的.
There is no way mathematical modeling can solve major biological problems on its own. On the other hand, it is highly unlikely that even a reasonably complete understanding could come solely from experiment.
—— J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, Notices of the AMS,
v. 59 (2012), no. 6, p.793.
自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外.
中学生IMO (国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad), 1959 ～)
北美的大学生Putnbam数学竞赛 (1938 ～)
全国大学生数学竞赛 (2010 ～)
Mathematical Contest in Modeling (MCM, 1985 ～)
美国大学生数学建模竞赛
Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999～)
美国大学生跨学科建模竞赛
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM, 1992～) 中国大学生数学建模竞赛
中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况

参赛队数(中国队数)
MCM - 1985
90(0)
MCM - 1989
211(4, 占 1.9%)
MCM - 2011
2375(2375, 占 86%)
ICM - 2011
735(693, 占 94%)
MCM - 2012
3697(3276, 占 89%)
ICM - 2012
1329(1278, 占 96%)
MCM - 2013
5636 (5207, 占 92%)
ICM - 2013
957(931, 占 97%)

中国大学生数学建模竞赛情况

参赛校数
参赛队数
CUMCM - 1992
79
314
CUMCM - 2009
1137
15042
CUMCM – 2010
1196
17311
CUMCM – 2011
1251
19490
CUMCM – 2012
1284
21219
CUMCM – 2013
1326
23193

在以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型
(问题)的叙述和初步讨论可参考
《物理学与偏微分方程》, 李大潜、秦铁虎编著,
(上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社.

Seven equations that rule your world (主宰你生活的七个方程式), by Ian Stewart, NewScientist, 13 February 2012.
Fourier transformation
Wave equation
Maxwell’s equation Schrödinger’s equation

Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World
(追求对未知的认识：改变世界的17个方程), Basic Books, March 13, 2012.
目录(Contents)
Why Equations? /viii
1. The squaw on the hippopotamus —— Pythagoras’s
Theorem/1
2. Shortening the proceedings —— Logarithms/21
3. Ghosts of departed quantities —— Calculus/35
4. The system of the world —— Newton’s Law of
Gravity/53
5. Portent of the ideal world —— The Square Root of
Minus One/73
6. Much ado about knotting —— Euler’s Formula for
Polyhedra/83
7. Patterns of chance —— Normal Distribution/107
8. Good vibrations —— Wave Equation/131
9. Ripples and blips —— Fourier Transform/149
10. The ascent of humanity —— Navier-Stokes
Equation/165
11. Wave in the ether —— Maxwell’s Equations/179
12. Law and disorder —— Second Law of
Thermodynamics /195
13. One thing is absolute —— Relativity/217
14. Quantum weirdness —— Schrödinger Equation/245
15. Codes, communications, and computers ——
Information Theory/265
16. The imbalance of nature —— Chaos Theory/283
17. The Midas formula —— Black-Scholes Equation/195
Where Next?/317
Notes/321
Illustration Credits/330
Index/331

相对论
Albert Einstein(1879, 3, 14 ～ 1955, 4, 18)

20世纪最伟大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Minkowski (闵可夫斯基)几何、Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过.
早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命.
为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的).
(1) 狭义相对性原理, 即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;
(2) 光速不变原理, 真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关.
时空不是绝对独立的.
由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等.
他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源.
(部分参阅李新洲:《寻找自然之律 --- 20世纪物理学革命》,
上海科技教育出版社, 2001.)
1907 年德国数学家 H. Minkowski (1864 ～ 1909) 提出了 “Minkowski 空间”,即把时间和空间融合在一起的四维空间. Minkowski 几何为 Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型.
“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space- time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”
— Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press. 中译本, 阿尔伯特·爱因斯坦 著, 相对论的意义, (普林斯顿科学文库(Princeton Science Library) 1), 郝建纲、刘道军 译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 27.
有了 Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家 M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具 — 以Riemann几何和Ricci, Levi - Civita的绝对微分学, 也就是 Einstein 后来所称的张量分析.
“根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了……进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了重要贡献. ”
—阿尔伯特·爱因斯坦 著, 相对论的意义, 郝建纲、刘道军 译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 57.
从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设:
1. (等效原理)惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，(或说引力和非惯性系中的惯性力等效)；
2. (广义相对性原理) 一切参考系都是平权的，换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变 —— 广义协变性(即一切物理定律在所有参考系[无论是惯性的或非惯性的]中都具有相同的形式)。由此借助关于弯曲空间的黎曼几何的数学工具可推导出广义相对论引力场方程，得到引力场中的时间和空间具有弯曲的性质，物质的运动分布使时空弯曲，引力会使光线偏转，以及引力场中的光谱红移，行星近日点的精确进动，雷达回波的延迟等推论。
由此借助关于弯曲空间的黎曼几何的数学工具可推导出广义相对论引力场方程, 得到引力场中的时间和空间具有弯曲的性质, 物质的运动分布使时空弯曲,引力会使光线偏转, 以及引力场中的光谱红移, 行星近日点的精确进动, 雷达回波的延迟等推论.
在 1915年11月25日发表的一篇论文中 Einstein 终于导出了广义协变的引力场方程

就是 Riemann 度规张量. Einstein 指出:
“由于这组方程, 广义相对论作为一种逻辑
结构终于大功告成!”
广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义, 成为历史上数学应用最伟大的例子之一.
Einstein关于光线经过太阳引力场会弯曲的预言, 在1919年5月29日由英国皇家学会科学
考察队的天文学家爱丁顿爵士(Sir Arthur Stanley Eddington, 1882, 12, 28 ~ 1944, 11, 22)等人在几内亚湾普林西比岛对日全食的观察结果、所摄照片以及随后的计算所证实.
Eddington是英国天文学家、物理学家、数学家，是第一个用英语宣讲相对论的科学家, 自然界密实(非中空)物体的发光强度极限被命名为“爱丁顿极限”. 在第一次世界大战期间, 英国人并不太清楚德国的科学进展, 爱丁顿在1919年写了“重力的相对理论报导”, 第一次向英语世界介绍了爱因斯坦的广义相对论理论.

电影：《Einstein and Eddington》
爱丁顿是第一个理解爱因斯坦理论的物理学家. 2008年由BBC拍摄的这部电影算是上世纪90年后对爱丁顿的一种迟到的补偿.

在Theodore Karman的回忆录 [4] 中写道：
“尽管 Prandtl 完全够格获 Nobel 奖，...
但他从未获奖显然是因为 Nobel 委员会不
认为(而且仍然不认为)力学科学是和他们给
予了许多 Nobel 奖的物理学不同分支同样
卓越。例如，Einstein (爱因斯坦)获Nobel
奖主要是由于他解释了光电效应，而不是构
成他的相对论基础的卓越的数学。我个人总
是怀疑在Nobel 委员会中出现的这种离奇古
怪的令人不解的事情是因为Nobel不能原
谅他的情妇和一位数学家私奔之事。”
In his memoir, Theodor Karman wrote [4] that
although Oscar Prandtl would have deserved it, ...
he never received the prize apparently because the Nobel Committee didn't (and still doesn't) regard the science of mechanics as sublime as other branches of for which they have provided many prizes. Einstein for example got the prize mainly for explaining the photoelectric effect, not for the brilliant mathematics underlying his theory of relativity.
— 为什么没有 Nobel 数学奖? (数学译林, v.21 (2002), no.2)
Mihaly T. Beck, Why Is There No Mathematical Nobel Prize?
The Mathematical Intelligencer, v. 23 (2000), no. 3, 68-69.

现在有好几个Nobel prize没有包含的学科
的奖项
Crafoord prize (瑞典)
Kyoto prize (日本稻盛财团)
Abel prize (挪威)
邵逸夫奖 (香港)
***************************************
量子力学
Max Karl Ernst Ludwig Planck(马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克，1858, 4, 23～1947, 10, 4) 德国物理学家, 量子力物理学的开创者和奠基人. 1918年获Nobel物理学奖.

Planck in 1933
Albert Einstein (阿尔伯特·爱因斯坦，德国人，后入美国藉，1879, 3, 14～1955, 4, 18), 1921年获Nobel物理学奖.
Werner Karl Heisenberg (维尔纳·海森伯1901, 12, 5～1976, 2, 1) , 1932年获Nobel物理学奖.

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrodinger (埃尔温·鲁道夫·约瑟夫·亚历山大·薛定谔, 奥地利人，1887, 8, 12～1961, 1, 4)，1933年获Nobel物理学奖.

Paul Adrien Maurice Dirac (保羅·埃卓恩·莫里斯·狄拉克，英国人1902, 8, 8～1984, 10, 20)，1933年获Nobel物理学奖.

如果没有Cayley(凯莱)在1858年发展的矩阵
的数学及其后继者的进一步发展, Heisenberg
(海森伯) 和Dirac(狄拉克)就无法开创现代物
理学量子力学方面的革命性工作.

Heisenberg(海森伯), Werner Karl德国物理学家、哲学家和社会活动家,为创立量子力学作出贡献, 创立矩阵力学和提出著名的“测不准(不确定性)原理”. 由于“创立量子力学，而这种力学的应用导致了许多发现，包括氢的同质异形体的发现”而获得1932年Nobel 物理学奖. 被公认为20世纪创新的思想家之一. 1920年进慕尼黑大学, 1923年获博士学位. 他曾说“在索末菲(Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld, 1868 ～ 1951)那里学了物理, 在玻恩(M. Born, 1882 ～ 1970)那里学了数学, 在玻尔(N. Bohr, 1885 ～ 1962)那里学了哲学.”1925年7月完成了具有历史意义的论文“关于运动学和动力学关系的量子论的新解释”.
他不考虑原子的结构是什么, 只考虑它们做什么. 他用数组去描写原子的能量、跃迁等, 发现了这些数组遵循的规则, 并用这些规则来处理原子过程. 海森伯的理论由三部分组成: 量子论的运动学表达式; 量子论的的动力学表达式; 讨论了一个简单非谐振子的应用例子, 其论述过程贯穿着对应原理的指导. 在论文的结束语中, 他希望通过对数学方法的更透彻的研究,
来决定他的这种“利用可观察量之间的关系”
建立起的量子力学“在原则上是否令人满意”.
— 李艳平、申先甲主编, 物理学史教程, 科学出版社, 2003, pp. 304-311.

Dirac (狄拉克), Paul Adrien Maurice英国理论物理学家，量子力学的创始人之一. 他相信数学上的近似法可以表达自然的基本规律. 1933年与奥地利物理学家Erwin Schrodinger (薛定谔)一起“因创立原子理论的新形式”共获Nobel物理学奖.
1931年狄拉克用他发现的描述电子运动和自旋的方程奠定了量子电动力学的基础, 它把量子理论和狭义相对论结合起来. 在获知海森伯的新的量子力学后不久发表多篇文章, 用他新的观点丰富了这个理论. 他的理论包括了“矩阵力学”和“波动力学”作为其特殊情形.
从他的理论(Dirac方程等)于1931年推导出了存在正电子(反物质). 他曾经说过：“我们从联系能量为W, 动量为p …… 的粒子相对论力学方程

出发, …… 可以看到能量W既可以比大
的正数, 也可以是比小的负数.”
在一定的假设下断言了存在正电子.
1932年美国物理学家Carl David Anderson
(1905,09, 03~1991, 01, 11, 获1936年诺贝尔物理学奖)在宇宙射线中发现了(观察到)正电子.

科学家发现迄今证实暗物质存在的最直接证据，该发现源自“阿尔法磁谱仪”实验，这部仪器是2011年美国航天飞机倒数第二次飞抵国际空间站时安装的。迄今为止，阿尔法磁谱仪共记录了宇宙中250多亿粒子流事件，其中包括40万正电子，它是电子的“反物质幽灵”，也是太空中观测到最大的反物质采集数据。
　　4月4日，诺贝尔奖得主、物理学家丁肇中称，尽管这些正电子是否起源于暗物质，以及一些解释并未完全行得通，阿尔法磁谱仪的观测数据显示了“意想不到的新现象”。这项研究结果发表在4月5日出版的《物理学评论快报》上。
宇宙的暗物质被认为只产生引力效应，不参与电磁力作用，我们目前可见的宇宙物质仅为4%，暗物质则占了23%，其余的为暗能量. 暗物质的充斥着整个宇宙空间，将星系包围，科学家已经察觉到暗物质的存在，但是从来没直接观测到它的存在. ……虽然暗物质之间很少发生交互作用，但科学家认为暗物质粒子可能彼此发生碰撞，在形成正电子和电子的过程中湮灭，这与阿尔法磁谱仪所观测到的结果一致 —— 40万正电子是暗物质湮灭时产生的.
电影“暗物质 (Dark Matter, 2008) ”则完全是另一个故事.

狄拉克也是使用线性算子(作为Heisenberg和Schrodinger理论的推广)的先驱. 他还引进了
D