圆：垂径定理与圆周角定理.doc

圆
考点一:与圆有关的概念
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的2倍。
注意：直径是弦，但弦不一定是直径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A、B为短点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个短点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3.圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
同心圆的圆心相同，等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
注意： 1）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆。2）等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧，不一定是等弧。
4.顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
注意：在圆中一条弦所对的弧有两条。
典型例题
例题1.下列语句中不正确的有（ ）。
①直径是弦； ②弧是半圆；
③经过圆内一定点可以作无数条弦； ④长度相等的弧是等弧。
A．①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④
考点二: 垂径定理及其推论（重点）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.
推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
(4 ) 圆的两条平行弦所夹的弧相等
在下列五个条件中:① CD是直径,② CD⊥AB,③ AM=BM,④AC=BC,⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
例题2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。

例题3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？

考点三: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条陷或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组,量都分别相等。一等全等
注意：不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则不成立；
结合图形深刻理解定理中“所对应”这一词的含义。
例题4.如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.
求证:(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DB∥CE

【课堂练习】
1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.
2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.
3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
4.如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
5.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

（第4题图） （第5题图） （第6题图）
7.已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离

8.已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF

9.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.

10. 半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?

11.点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.

圆周角和圆心角的关系
一．考点归纳
考点一
圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。
1 判断图中的角是不是圆周角：

2 判断下列命题是否正确？
⑴圆周角的顶点一定在圆上。（ ）
⑵顶点在圆上的角是圆周角。（ ）
⑶圆周角的两边都和圆相交。（ ）
⑷两边都和圆相交的角是圆周角。（ ）
考点二
圆周角定理（重点）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。同弧所对的圆周角和圆心角的三种关系：
①圆心在角的一边上；
②圆心在角的内部；
③圆心在角的外部。因此本定理的证明要分为三种情况。
3验证推理圆周角定理：

推理过程：
；
；
；
；
。
考点三
推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。
推论4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=70°，求∠ABC的度数。

5 如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

巩固练习
1 已知：四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD＝4，则AB与圆的距离为 ( )
A． B．2 C． D．
2 ⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．
　　（A）30°　（B）150°　（C）30°或150°　（D）)60°
3 △ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）．
　　（A）60°　（B）80°　（C）100°　（D）)120°
4如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
　　（A）3　（B）4　（C）5　（D）6
5 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）
　　（A）70°　（B）65°　（C）60°　（D）)50°

第4题 第5题
6在半径为5的圆内，有一条长为5的弦，则此弦所对的圆周（　　）
A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．120
7 如图，A、B、C、D是同一圆上的四个点，且，BA和CD的延长线交于P点，∠P=40°，则∠ACD的度数是（　　）
A．15° B．20° C．40° D．50°
8如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
9下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
10下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等
B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．
D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
A
O
B
E
11 如图，如果⊙O的半径为2，弦AB=，那么弦心距OE的长为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
13 （2005 四川自贡）如图，是的直径，是半

圆的三等分点，则．

第14题 第15题
14 在⊙O中，OC是半径，弦EF过OC的中点，且垂直于OC，则弦EF所对的圆心角的度数是_________，如果半径为1，弦EF的长是_________．
课后练习

1 如图，在中，弦cm，圆周角，则的直径为　　　cm．
2.图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若
∠BCD=25°，则∠AOD= ．
3．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
4．如图6，AB是⊙O的直径，=，∠A=25°，则∠BOD= ．

5.如图，已知在半圆中，，
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ

，求的长度．

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