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第一课时：平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
1、了解向量的实际背景，平面向量的概念，理解向量相等的含义，掌握向量的几何表示；
2、掌握向量的加法与减法及其运算律，能根据“平行四边形法则”和“三角形法则”进行向量的和与差运算；
3、理解向量共线定理；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【教学重点】平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算。
【教学难点】、理解向量共线定理，并能运用其解决相关问题。
【教学过程】
一、引入
1、向量的有关概念：
向量：既有______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_______（或___ _）。
2、几个特殊的向量：
（1）零向量：_____________的向量叫做零向量，其方向是_____ ___的；
（2）单位向量：长度等于______ ____的向量；
（3）平行向量：方向____ _____或__________的__________向量，平行向量又叫做____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上。规定：0与任一向量______________。
（4）相等向量：长度_________且方向____________的向量；
（5）相反向量：长度_________且方向____________的向量。
3、向量的加法：
（1）运算法则：①___________________，即_____________________ _ ________；
②______________________，即___________________________________ ___________。
设，则=___________=_____ ___。
（2）运算性质：=_____ ___(交换律)；=______ _____（结合律）；
=___ _ ____=_____ __。
4、向量的减法：
（1）减法与_________互为逆运算；
（2）运算法则：____________法则，_____________________ _________________；
设，则=________________=_______ __。
5、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作
（1）长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向 __；
当时，的方向与的方向_____ ____；当时，=，的方向___ ___。
（2）运算律：设，则①；② ；③ 。
6、两个向量的共线定理：向量与_______（）共线有且只有一个实数，使得。
二、激活思维：
1、化简：
; ; ;
2、已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，
求 .
3、已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使．= = .
4、已知，是一对不共线的非零向量，若＝ ， ＝-2-，且，共线，则实数λ＝ ．
5、已知，设，如果
，那么为何值时，三点在一条直线上？
三、例题分析
题型一 向量的有关概念
例1、下列命题：
（1）向量的长度与的长度相等；
（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
（4）向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
（5）－＝；
（6）在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则＋＝2.其中真命题的序号是　　　.
题型二　向量的线性运算
例2． 如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，
使DB＝OB.设＝，OB＝，用，表示向量，.

题型三　向量共线问题
例3、设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.

变式一：设e1，e2是两个不共线向量，已知=2 e1+k e2， = e1+3 e2，=2 e1- e2．
若A，B，D三点共线，求k的值．

例4、已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是　 .

变式二：设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪个定点：①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心。答：
四、当堂练习
1．△ABC是边长为1的正三角形，点O是平面上任意一点，则_______．
2．如图在△OAC中，B为AC的中点，若＝x＋y，
则x－y＝________．
3、如图，设点P,Q是线段BC的三等分点，若，
则 ， （用 表示）
五、课后练习
1、在平行四边形ABCD中，为的中点，则(用表示）
2、平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是 .
3、已知||＝8，||＝5，则||的取值范围是 ．
4、若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2 |，则△ABC的形状为________．
5、设P是△ABC所在平面内的一点， ＋＝2 ，则点P、A、B、C其中共线的三点是________．
6、已知点O，N在△ABC所在平面内，且| |＝||＝| |，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的________．（填外心、内心、重心、垂心）
7、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
8、已知和点满足若存在实数，使得成立，则
9、设的重心为，的中点分别是,则
10、边长为１的正方形ABCD中，若则
11、已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=－λe1－8e2,=3e1－3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.

12、(1)如图，设点,是线段的三等分点，若试用表示向量
A
B
O
P

Q
(2)在（1）中，当三等分线段时，有如果点是线段的等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论。