椭圆及其标准方程教学设计 (2).doc

《椭圆及其标准方程》教学设计
安阳市实验中学
一、本节课教学内容的本质、地位和作用分析
《椭圆及其标准方程》是人教A版选修1-1第二章第一节第一课时，讲解椭圆的定义及其标准方程。本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.
　二、学生学情分析
该班学生是高二文科生，数学基础整体较差，虽然在此之前学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够；从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍；在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要.
三、教学目标确定
根据本节内容在教材中的地位和作用及学情分析，特制定以下教学目标：
知识与技能目标：掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求椭圆的标准方程.
过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力.
情感态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识.
4.教学重点、难点及处理办法
教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想.
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简；坐标法的应用.
突出重点、突破难点的方法：通过生活中的例子引入课题，让学生对椭圆的形状有直观的认识，激发学习兴趣；通过老师在纸板上画椭圆，学生自己画椭圆以及老师在电脑上演示椭圆的生成过程，让学生感受椭圆的生成过程并总结椭圆的定义，从而得到椭圆的概念；采用开放式教学让学生参与到课堂，通过习题及时巩固椭圆定义，从而实现了本节课重点的突出、难点的突破.
四、教法与学法分析
教学方法：创设情境，引导归纳。
学法指导：活动探究，合作交流
本节课的主要内容是椭圆的概念及椭圆标准方程的推导，对椭圆概念的理解和接受是重点，因此我将采用创设情境、引导归纳的方法进行教学.指导学生采用自主体验、合作交流和探究归纳的学习方法.
五、教学过程
(一) 创设情景，引出课题
向学生展示桌面上的一杯水，然后倾斜水杯；
[问题] 水面的形状由什么变成了什么？
ppt图片 槽罐车，丰田汽车标志，红旗轿车标志，中央电视台台标；
[问题] 这些生活中的实物都什么形状？
ppt图片 太空中行星照片，神州飞船
[问题] 太空中的行星和神州飞船的运行轨道是什么？
(二) 动手实验，亲身体会
探究活动一
取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上,用铅笔尖把绳子拉紧, 使笔尖在平面内慢慢移动,问笔尖画出的图形是什么？
探究活动二
若将细绳两端分开,并且固定在平面内的F1 、F2两点.当绳长大于F1 和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在平面内慢慢移动,问笔尖画出的图形又是什么呢?
让学生拿出课前准备好的一段细绳和纸张，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并展示画的好的学生的椭圆，使学生尝试到成功的喜悦.
几何画板演示椭圆的生成过程
[问题] 椭圆的定义是什么？
教师引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”
[思考]
1. 在纸板上作图说明了什么？
2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，
（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？
（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？
（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
（4）当两图钉固定，绳长能小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
3．学生自己概括椭圆定义.
定义 平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：
①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；
③常数大于|F1F2|.
练习 定义巩固
（1）已知平面内两定点B（-3,0），C（3,0）且满足|AB|+|AC|+|BC|=16，
则点A的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
（2）已知F1 ，F2 是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，
则点M的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
(三) 师生互动，导出方程
给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[问题]怎样建立坐标系，才能使求出
的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、
相互交流，很容易选定下列建立坐标
系的方案.
1. 建系：
以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线 为y轴，建立坐标系，如图1
2. 设点：
设M(x,y)为椭圆上任意一点，|F1F2| = 2c(c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2(c，0).又设 M与F1 和F2的距离的和等于常数 2a(a>0).
3.列出方程
到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
4.化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
教师引导学生化简，得到，指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，需再简化.
教师引导学生观察，当点M运动到
椭圆和Y轴上半轴的交点位置时，哪一
段长是a, 哪一段长是c, 哪一段长是
从而引出b.

指出：方程（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0)F2(c,0),这里，c2=a2-b2
[问题]
如果焦点F1 、F2 在y轴上，并且点O 与线段F1F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？
学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得 （a>b>0）
指出：（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2
练习 大显身手
下列方程哪些表示椭圆？若是椭圆请判定其焦点的位置，并写出焦点坐标.
（1） （2）
（3） （4）
(四) 初步运用，强化理解
例 题
已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0）并且经过点
求椭圆的标准方程.
例题考察椭圆定义，也可以用待定系数法求解，师生共同完成.
(五) 自我评价，成果反馈
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=1，焦点在x轴上
（2）a=4,c=1，焦点在y轴上；
（3）b=1,c=，焦点在坐标轴上；
学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正.
(六) 知识整理，形成系统
小结 (由学生归纳，教师完善)

定义

不同点
图形

标准方程

焦点坐标

相同点
a,b,c的关系

焦点位置的判断

(七)布置作业，巩固提高
1.P42 第1、2、7题
2.若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围.

五、课后反思
本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.
六、板书设计