教师版2-1和2-2练习.docx

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2015-2016学年度???学校1月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、选择题（题型注释）
1．若，则＝（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：设，则，所以＝，解得， 所以，故选B．
考点：定积分的运算．
2．计算：（ ）
A．－2015 B．2015 C．4030 D．－4030
【答案】C
【解析】
试题分析：.
考点：定积分.
3．.则大小关系是（ ）
A . B. C . D.
【答案】D
【解析】解：因为，,
因此可知选D
4．由曲线围成的封闭图形面积为（ ）[
（A） (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。
5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： ，故答案为D.
考点：线的方程、三角形的面积、导数的几何意义
点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
6．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：依题意知，．又因,则,所以曲线在点处切线的斜率为4．故选A．
考点：导数法求切线斜率．
7．若曲线在点（0，b）处的切线方程是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：．
由题意可知点即为切点，由切线方程可知切线的斜率．
由导数的几何意义可知．解得．
将点代入切线方程是可得．
故A正确．
考点：导数的几何意义．
8．设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）

【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数在处取得极小值，所以当时，当时，所以当时，当时，当时，故应选C.
考点：导数应用.
9．设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：，由题设得.所以，切线的方程为，即.所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：.选B.
考点：1、导数的应用；2、三角形的面积.
10．是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）

【答案】D
【解析】
试题分析：由导函数的图象可知其值大于0且先增大后减小，可知原函数的图象是由平缓到陡峭再到平缓，因此答案选D.
考点：导数的几何意义
11．直线与曲线相切，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】设切点为，由得，所以，，，，代入直线方程得，选.
考点：导数的几何意义，直线方程.
12．函数的定义域为R，，对任意，都有＜成立，则不等式的解集为（ ）
A. （-2，2） B. （-2，+） C. （-，-2） D. （-，+）
【答案】C
【解析】
试题分析：构造函数，因为，对任意，都有＜成立，
即<0成立，所以函数是减函数。
，即，故，选C。
考点：利用导数研究函数的单调性，抽象不等式的解法。
点评：中档题，本题关键是构造函数，通过研究函数的单调性，达到解不等式的目的。
13．已知函数，则的导函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.

【答案】A
【解析】
试题分析： , 故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当 时， , 排除C，只有A适合，故选：A．
考点：函数的图像和性质
14．“0＜a＜4”是“命题‘∀x∈R，不等式x2+ax+a≥0成立’为真命题”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：，不等式x2+ax+a≥0成立，则，解得：，所以“0＜a＜4”是“命题，不等式x2+ax+a≥0成立’为真命题”的充分不必要条件，故选A．
考点：充分条件、必要条件．
15．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：方程表示焦点在轴上的双曲线，则有，因此“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件
考点：1．双曲线方程及性质；2．充分条件与必要条件
16．已知下面四个命题：
①“若，则或”的逆否命题为“且，则”
②“”是“”的充分不必要条件
③命题存在，使得，则任意，都有
④若且为假命题，则，均为假命题
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：由题可知，①正确，②为充分不必要的条件，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若且为假命题，则至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．
考点：1、命题的真假；2、逻辑关系．
17．已知命题p：∃x∈R，（m＋1）（x2＋1）≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2 B．m≤－2或m>－1
C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2
【答案】B
【解析】
试题分析：当命题为真时，，解得．
当命题为真时，，解得．
当命题与命题均为真时，则有．
命题为假命题，则命题与命题至少有一个为假命题．
所以此时或．故B正确．
考点：命题真假的判定．
【思路点睛】本题主要考查的是命题真假的判定．先分别求得命题为真时的范围和命题均为真时的范围．命题为假命题，则命题与命题至少有一个为假命题，包含情况较多，不如先求两命题均为真时的范围，这样较简单．根据两命题均为真时取值集合与两命题至少有一个为假时取值集合互补，可求得所求．
18．已知命题：，，则（ ）
A．￢：，
B．￢：，
C．￢：，
D．￢：，
【答案】C
【解析】
试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．
考点：全称命题与特称命题的否定．
19．下列选项正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B.命题甲：，命题乙：或则甲是乙的充分不必要条件
C．命题“若”的否定为：“”
D.已知命题：使得，则使得
【答案】B
【解析】
试题分析：当中一真一假时，为假命题，A错；记命题甲为，命题乙为，则：，：且，所以，¿，故，¿，B正确；命题的否定只否定结论，C错；特称命题的否定是全称命题，D错.
考点：1、简单的逻辑联结词；2、命题的否定.
20．设是定义在上的函数，其导函数为，若+，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：构造函数，因此，故函数在上是减函数，所以，即，因此的解集，故答案为D．
考点：1、构造辅助函数；2、导数在函数单调性中的应用．
【思路点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，根据题意构造辅助函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．
21．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得，存在，满足，
即有负根，

如图所示，当时，的图象可由的图象向左平移个单位得到，可知此时有负根一定成立；
当时，的图象可由的图象向右平移个单位得到，观察图象可发现此时有负根的临界条件是函数经过点，此时有
，解得，因此要保证有负根，则满足，故答案为C．
考点：函数的性质及应用．
【思路点睛】本题主要考察函数图象的性质、导数和解对数不等式，结合数形结合思想，函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，属于难题，本题表面上是函数的图象问题，实际上是利用导数求解函数的最值问题，巧妙厉害函数图象的交点与方程的解的关系，求解参数的取值范围，把几何问题转化为代数问题，数形结合一般都是认为把代数问题转化为几何问题来解决，其实也包含把几何问题转化为代数问题解决．
22．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．

【答案】B
【解析】
试题分析：由，得到，∵函数在上是单调函数，所以在恒成立，则，所以实数a的取值范围是：．故选B
考点：利用导数研究函数的单调性．
23．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，为单调函数，所以函数在区间有极值点，即，代入解得，解得取值范围为，故选．
考点：1．导数的求法；2．导数应用极值．
24．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 ①，下面予以讨论： （1）时，代入①得：； （2） 时，①的两边同乘以 ： ， 即 , 所以函数是上的增函数，而， 故： ， 所以；（3）时，①的两边同乘以 ： ， 即, 所以函数是上的减函数，又, 故：， 所以也有， 综上可知， 时，总有所以选 A.
考点：函数单调性，函数与导数.
25．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：构造函数 ，则 ，由题意得
恒成立，所以函数在R上单调递减，又 ，
所以，即g（x）<1，所以x>0，所以不等式的解集为 ，故选B
考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式
点评：解决本题的关键是根据构造函数，并正确确定该函数的单调性
26．已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于　　　（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查向量的数量积、空间几何体相关知识。
由题意，故
27．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)．

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【答案】D
【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D.∴AC⊥BE，故A正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确．C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．故C正确．
建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，

①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F （，，1），
∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），
∴·＝.又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝，故选D.
28．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：设双曲线的一个顶点为，则它到一条渐近线，也即的距离为，则，解得，又由得，所以双曲线的方程为．
考点：1、点到直线的距离公式；2、双曲线的方程；3、双曲线的渐近线
29．设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使且的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】D
【解析】
试题分析：设，依题意有，消去，解得，故选D．

考点：1、双曲线的定义与标准方程；2、双曲线离心率；3、方程的思想．
30．若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标
为1，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：设椭圆方程：，则由点差法得：，其中为直线斜率，为弦的中点坐标，即，从而，解得，选D.
考点：点差法求弦中点
【名师点睛】
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
31．若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：，．
所以的虚部为．故D正确．
考点：复数的运算．
32．设复数z＝a＋bi（a，b∈R），若＝2－i成立，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以，点在第一象限，故选A．
考点：复数的运算，复数的几何意义．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题（题型注释）
33．若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：命题“，使”的否定是：““，使”
即：，∴，故答案是.
考点：命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．
34．已知函数f（x）＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f（x0）<0”为真，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
试题分析：因为,所以依题意可得．即的范围为．
考点：1命题;2二次函数．
35．给出如下四个命题：
①若“或”为真命题，则、均为真命题；
②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；
③在中，“”是“”的充要条件；
④已知条件,条件,若是的充分不必要条件,则的取值范围是；
其中正确的命题的是 ．
【答案】④
【解析】
试题分析：若“或”为真命题，则p、q至少有一真，所以命题错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题‚错误；三角形ABC中，角A时，,故命题ƒ错误；若是的充分不必要条件即p是q的充分不必要条件。由因p:,所以由一元二次方程根的分布可得，解得，。故正确的命题是④。
考点：命题的真假性判断。
36．已知 的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得：p：，q：，根据题意可得q时p的充分而不必要条件，即，所以有，即
考点：利用充分、必要条件求参数
37．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：解不等式可得命题，，是的充分不必要条件
，所以的取值范围为
考点：1．一元二次不等式解法；2．充分条件与必要条件
38．已知,若至少存在一个实数x使得成立，a的范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：已知函数为R上奇函数且单调递增，所以至少存在一个实数x使得成立等价于即在R上有解。
当时，符合题意；当时，二次函数开口向下函数值小于零一定有解，所以此时符合题意；当时，需有解得，．综上，符合题意的实数a的范围是。
考点：不等式有解问题求参数范围。
【方法点睛】首先是将问题等价转化为在R上有解，然后就是如何讨论的问题。二次项系数有参数应先考虑是否为零，等于零时特殊处理。当不是零时，应考虑二次项系数的正负情况，即二次函数图像开口向上还是向上。当时，结合图像知，不等式一定有解；当时，要使不等式有解，需x轴下方有图像，即．综合三种情况即可求解。注意参数讨论应标准统一、不重不漏。
39．已知函数，且，给出下列命题：
①；
②；
③；
④当时，.
其中所有正确命题的序号为 .
【答案】③④.
【解析】
试题分析：①：，令，∴，∴在上单调递减，上单调递增，故与的大小无法判断，∴①错误；②：令，∴，
∴在上单调递减，上单调递增，故与的大小无法判断，∴②错误；
③：，∴③正确；
④：，∴单调递增，∴
，由③可知，，∴，
∴④正确，故正确的结论为③④.
考点：利用导数判断函数单调性.
40．已知函数，若函数的零点所在的区间为，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由于，，根据零点存在定理得，零点所在的区间为，故
考点：函数的零点.
41．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】(,+)
【解析】
试题分析：求导得==，由题在上单调递增知 =≥0，即对恒成立，设=(),=,当时，，当时，，所以在（1，）是增函数，在（）上是减函数，故当=时，取最大值=，所以.
考点：常见函数的导数；导数的运算法则；导数与函数单调性的关系
42．函数的极小值为 ；
【答案】1.
【解析】
试题分析：直接求出函数的导数，令得；又因为当时，，当时，，即即为函数的极小值.
考点：导数在函数的极值中的应用.
43．是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由，令，则由得．由知，为直角三角形，即，则，所以，解得，故．
考点：双曲线离心率．
【思路点睛】由，令，根据双曲线的定义可得得，由题意可知为直角三角形，再利用勾股定理可求得，从而可求，进而可求得双曲线的离心率．
44．定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，
则点到轴距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设，抛物线的焦点为，抛物线的准线所求的距离为：（两边之和大于第三边且三点共线时取等号）

考点：抛物线的简单性质
【思路点睛】本题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．解题时可先设出的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出到轴距离，根据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且三点共线时取等号判断出 的最小值即可．
45． 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_______________ ．
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线的焦点坐标为：，直线方程为，与抛物线方程联立，所以，而，解得
考点：直线与抛物线
46．抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线相交于两点，直线分别交抛物线于点．若直线的斜率分别为，则_______．
【答案】
【解析】
试题分析：设AF的方程是与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出.
设 ∴AF的方程是
设，则AF： ，与抛物线方程联立，可得 利用韦达定理 ， ，
同理
考点：直线与圆锥曲线的位置关系
47．抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线相交于两点，直线分别交抛物线于点．若直线的斜率分别为，则_______．
【答案】
【解析】
试题分析：设AF的方程是与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出.
设 ∴AF的方程是
设，则AF： ，与抛物线方程联立，可得 利用韦达定理 ， ，
同理
考点：直线与圆锥曲线的位置关系
48．已知，若为纯虚数，则 ．
【答案】
【解析】
试题分析：为纯虚数，，；
考点：1．复数的分类；2．复数的模长；
49．如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为 ．

【答案】
【解析】
试题分析：设，即，解得．正方形边长构成数列，从而最小正方形的变长为．
考点：1、合情推理与演绎推理；2、等比数列前n项和；3、数学历史．
【方法点晴】本题第一步考查合情推理，一开始是1个，变为2个，变为4个……由此得到正方形个数的增长规律是．由等比数列前n项和公式求出n．以正方形的边长为等腰直角三角形的斜边，推理出小正方形的变长的规律是，令即可求出．合情推理之后用数列求和公式．
50．小明在做一道数学题目时发现：若复数，，（其中），则，，根据上面的结论，可以提出猜想：= ．
【答案】
【解析】
试题分析：∵当复数，时，
，
.
考点：归纳推理．

评卷人
得分

三、解答题（题型注释）
51．已知函数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：，；
（Ⅲ）当时，求证：．
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为，；（Ⅱ）证明详见解析；（Ⅲ）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明问题，本题计算量大，有较大难度，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；第二问，先求出函数在上的单调区间，求出区间上的最大值和最小值，从而证明不等式成立；第三问，由函数的单调性得到，n=2，3，…，n+1，求和化简整理即可．
试题解析：（Ⅰ），
令，则，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，，
因为当时，，，
所以当时，，
所以，
所以对，都有；
（Ⅲ）当时，，由（Ⅱ）知：
即，
∴，从而，
，…，，
将以上各式相加，得：，
即：，
即：，化简得：，
即．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
52．已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）利用导数的几何意义，等于切线斜率得到关于的方程，求得值（2）将方程转化为在上恰与x轴有两个交点，进而考察函数单调性，最值得到相应的条件得到的取值范围（3）由函数代入整理求得两极值 ，将通过代换构造新函数，利用导数求得最小值，进而得到实数的最大值
试题解析：（1）
∵函数在处的切线与直线平行 ∴，
解得：；
（2）由（1）得，∴，即
设，
则
令，得， 列表得：

1
（1，2）
2

0
－
0
+

极大值

极小值

∴当时，的极小值为，
又
∵方程在上恰有两个不相等的实数根，
∴即解得：；
（3）解法（一）
∵，∴
∴，
∴

设，则，令，
则，∴在上单调递减；
∵，∴
∵
∴ ∴ ∴
∴当时， ∴
．
解法（二）
∵，∴
∴， ∴ ∵ ∴
解得： 12分
∴
设，则
∴在上单调递减；
∴当时， ∴
．
考点：1．函数导数的几何意义；2．利用导数求函数单调区间与最值；3．不等式，方程与函数的转化
53．（本小题满分12分）已知函数R，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导数得，由导数几何意义得曲线在点处的切线斜率为，且，联立求，从而确定的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于，参变分离为，利用导数求右侧函数的最小值即可．
试题解析：（Ⅰ）∵， ∴．
∵直线的斜率为，且曲线过点，
∴即解得．
所以 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当时，恒成立即 ，等价于．
令，则．
令，则．
当时，，函数在上单调递增，故．

从而，当时，，即函数在上单调递增，
故．
因此，当时，恒成立，则．
∴ 的取值范围是． 12分
考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值．
54．设函数，曲线过点P（1，0），且在P点处的切线的斜率为2，
（1）求的值。
（2）证明：
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先求函数的导数，根据条件，利用导数的几何意义列方程从而求得的值；
（2）由题意，设，则只要证明即可，于是问题轩化为利用导数研究函数的单调性与最值.
试题解析：（1）,由条件知 即
∴ 5分
（2）证明：的定义域为，由（1）知
设
则
当时，，∴单调增加，
当时，，∴单调减少，而故当时，。
即 12分
考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想.
55．如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
【答案】（1）证明详见解析；（2）30°；（3）存在 SE∶EC=2∶1
【解析】
试题分析：（1）设AC交BD于O,以 OB→、OC→、OS→分别为S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0,
x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，则S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0,
求出OC→，SD→的坐标，并计算得到OC→·SD→=0，从而AC⊥SD.（2）DS→为平面PAC的一个法向量，OS→
为平面DAC的一个法向量，向量DS→与OS→的夹角等于二面角PACD的平面角，根据向量的夹角公式计算出DS→与OS→的夹角即可.（3）假设存在一点E使BE∥平面PAC，设CE→=tCS→(0≤t≤1),则BE→=BC→+CE→=BC→+tCS→-22a,22a(1-t),62at,因为BE→·DS→=0，可建立关于t的等式，解之即可.
试题解析：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,
由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,OB→、OC→、OS→分别为
x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

设底面边长为a,，则高SO=62a.于是S0,0,62a,D-22a,0,0,C0,22a,0,
OC→=0,22a,0,SD→=-22a,0,-62a,OC→·SD→=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 4分
(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为DS→=22a,0,62a,
平面DAC的一个法向量为OS→=0,0,62a,则cos<OS→,DS→>=OS→·DS→|OS→||DS→|=32,
故所求二面角的大小为30°. 8分
(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知DS→是平面PAC的一个法向量,
且DS→=22a,0,62a,CS→=0,-22a,62a, 设CE→=tCS→(0≤t≤1),
BE→=BC→+CE→=BC→+tCS→=-22a,22a(1-t),62at,而BE→·DS→=0t=13,
即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC. 12分
考点：1.空间两向量垂直的充要条件；2.二面角；3.直线与平面平行判定.
56．设椭圆C： 的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且在椭圆上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 若椭圆C左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交于两点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）双曲线的离心率公式可得，得，再将点代入椭圆方程，可得，，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设过的直线：，将其与与联立得，，由韦达定理得，和弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得，到直线的距离 ，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出结果．
试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，解得
则椭圆C的方程为，代入得，，所求椭圆C的方程为
（Ⅱ）过的直线：与联立得，
由韦达定理得， ，

设到直线的距离
==（当且仅当）
考点：1．椭圆的方程；2．直线与椭圆你的位置关系．
【方法点睛】若椭圆方程为，半焦距为，焦点，若过的直线的倾斜角为交椭圆于两点则弦长；若直线交椭圆于两则弦长．
57．(本小题满分12分)
已知椭圆的方程为,离心率,过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）,,为曲线上的三个动点, 在第一象限, ,关于原点对称,且,问的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）；（2）取最小值，此时.
【解析】
试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．第一问，椭圆的离心率和已知条件，得到x与y的关系式，经过整理即可得到椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到和的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值.
试题解析：（1） 由题意，，又，可解得，因此椭圆的标准方程为．
（2）由题意知，设，
设
由，消去得，所以
同理可得，
所以
当，即时，取最小值，此时．
考点：椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、函数最值.
58．(本小题满分12分)已知椭圆+=1（＞＞）的离心率为，且过点（，)．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2），证明过程详见解析．
【解析】
试题分析：（1）由离心率及过一定点可进行椭圆基本两运算，从而求出椭圆方程．
（2）将直线方程代入椭圆方程，设出点P，Q，并由韦达定理的的出的关系．注意设而不求代入，整理即可得出为定值，同时经验证复合题意．
试题解析：（1）
依题意可得解得
所以椭圆C的方程是
（2）当变化时，为定值，证明如下：
由得，．
设P，Q．
则，
直线OP、OQ的斜率依次为，且,
，得,
将代入得：，
经检验满足．
考点：椭圆方程的求法‚直线与椭圆的综合问题．
59．（本题满分15分）如图，分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点是椭圆上异于点的任意一点，且直线分别与轴交于点，若的斜率分别为，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题知焦距为，所以由椭圆的对称性及已知得又因为所以 因此由，于是因此椭圆的方程为
（Ⅱ）设，则直线的方程为，令，得故同理可得所以， 因此因为在椭圆上，所以， ，代入化简得所以由题目知
继而的取值范围是
试题解析：（Ⅰ）因为焦距为，所以
由椭圆的对称性及已知得又因为所以
因此
于是因此椭圆的方程为
（Ⅱ）设，则
直线的方程为，令，得
故 同理可得
所以， 因此
因为在椭圆上，所以
故
所以
又因为当时重合，即重合，这与条件不符，所以
因此的取值范围是
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线综合问题.
60．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P．

（1）求椭圆C的方