曲面与曲线周亚非092月12日.pptx

1空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C 可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程2例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为交线为椭圆椭圆.3例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解是上半球面是上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.4空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程5螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程解解取时间取时间t为参数，为参数，动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点，点，在在面的面的投影为投影为 6螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距7消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影8如如例例1 方程组方程组椭圆。椭圆。表示表示这这椭圆椭圆在柱面在柱面上上以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：9如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程:空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面10类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线11例例4 4 求曲线求曲线 在在XOY面上的投影面上的投影.解解 消去变量消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为12补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面投投影影面面13例例5解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为14一个圆一个圆,15二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面16（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：17椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.18椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为19球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.20（二）抛物面（二）抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.21当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线22与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线:它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.23zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：24特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.旋转抛物面旋转抛物面25（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）图形如下：图形如下：xyzo261 空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程:五、小结五、小结2 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影:3 椭球面、抛物面（椭球面、抛物面（截痕法截痕法）（了解这几个常见曲面的特性）（了解这几个常见曲面的特性）