方程的根与函数的零点教案.doc

必修一 3.1.1 方程的根与函数的零点
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
（2）了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系；
（3）了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间.
2.过程与方法：
（1）体验二次函数的图象与 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；
（2）经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；
（3）在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来研究问题.
3.情感态度价值观：
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
【重点难点】
1.教学重点：理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识．
2.教学难点：函数零点存在的条件．
【教学策略与方法】
1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
问题1：解方程（比赛）：①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 。
再比赛解3x3＋6x－1=0
设计意图：问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生积极性和主动性。
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x5＋6x－1=0 紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法引入课题。
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图7-1
方程与函数
方程与函数
方程与函数

图7-1
[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。
零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的。
结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你能总结方程的根与函数的零点之间关系吗？
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图像与轴交点的横坐标. 还可以用数学符号语言表达，函数有零点方程有实数根 函数 的图像与x轴有交点.
师：函数的零点是“点”吗？
生：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。
师：如何根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程而得到（代数法）；例如函数的零点为x=-1,3
也可以利用函数的图象找出零点．（几何法）
师：是不是所有的二次函数都有零点？
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：看△
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
探究：观察二次函数的图象，如右图，我们发现函数在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？

师：我们一起用符号语言总结：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。我们把这个结论称为零点存在定理。
2、例范研究
例1.已知函数f（x）= －3x5－6x＋1有如下对应值表：
x
－2
－1.5
0
1
2
f（x）
109
44．17
1
－8
－107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？
设计意图通过本例引导探索，师生互动
探求1：如果函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗?
探求2：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？
探求3：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？
探求4：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0 ？
图5（反例）
师：总结两个条件：
1）函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线
2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0
一个结论：函数y＝ f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点
补充：什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点
例2．求函数的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
课堂练习：
1．函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；（2）；
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；（2）；
5课堂小结：
零点概念
零点存在性的判断
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间
函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想方法.
6作业回馈
课本习题3．1（A组）第1、2题；