一元二次方程知识点总结及典型习题.doc

一元二次方程
一、本章知识结构框图
实际问题
数学问题

设未知数，列方程
实际问题的答案
数学问题的解

解 方 程
降 次
开平方法
配方法
公式法
分解因式法
检 验
二、具体内容
（一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；
2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
（3）熟练整理方程的过程
3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
4、列出实际问题的一元二次方程
（二）、一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2、根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
3、值得注意的几个问题：
(1) 开平方法：
对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
形如的方程的解法：①当时，;
②当时，x=0 ③当时，方程无实数根。

（2） 配方法：
通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；
②确定的值；
③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）
（4）因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；
②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（右化0）
把方程的左边分解因式；（左分解）
令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；（两因式）
解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（各求解）
（5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
（6）解含有字母系数的方程
①含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
②对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
（三）、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一
元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）=
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）
①当方程有实数根；
（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）
②当方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围
（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况
①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形；
③判断判别式的符号； ④总结出结论.
（4）分类讨论思想的应用：
如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分
类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一
元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，
解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合
（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
（四）、一元二次方程的应用
1.数字问题：
解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对
结果要结合几何知识检验。
3.增长率问题（下降率）：
在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的
基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

一元二次方程习题
1．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：
（1） （2）
（3） （4）
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) 为何值时，关于的方程是一元二次方程。
（2）若分式，则
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则
（2）已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，
则 ，
（3）已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数
是方程的一个根，求方程的根及c的值。
4、解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
5、不解方程判别方程根的情况：
（1）4 （2） (3)
6、为何值时，关于x的二次方程
（1）有两个不等的实数根 ? （2）有两个相等的实数根 ? （3）无实数根?
7、、某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？
8、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
12、 有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？