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一类数列求和的新方法
对于形如(其中为常数)的数列求和问题，学生一般采用错位相消法．但是学生在应用这种方法在求和时常常容易在计算时犯错误．在这里，我们主要是探讨这类数列求和问题的新思路，以期简化学生的计算量和提高学生的思维能力．
问题： 设，求的前项和．
解：这是典型的一道错位相消的题目，我们从另外的角度来讨论怎么求和．
设，令，比较系数可得方程
，，解方程可得，，即．
，
则．
注1：这个方法我们定义为待定系数法，就是构造新数列使得所求的数列可以裂开为的两项之差即，从而得到．
注2：形如的数列求和问题用“待定系数法”时构造的数列跟的形式是一样．同理对于形如的数列求和问题，我们同样构造数列．
推广 ：设，求的前项和．
解：设，,由可得
，比较等式两边系数可得
，，解得，．
即，因此我们可以得到
，故
．
这样这一类问题我们都可以解决了，而且只是解个方程而已，避开了复杂的计算．
例1：（2014·安徽高考）数列满足，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）证明：，，即；
数列是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，则；
下面我们用新方法来求这个数列的和，设，，
令，，比较系数可得方程
，解之得．故，则
，即，而
，，．
例2：（2015·湖北高考）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的
公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
解：（1）由题意有，解得或．
故或．
（2）由，知，，故，
设，由可得方程组
，解得，故，则
，即，而

，，．
例题3：已知数列，．
（1）求与的递推关系式；
（2）求的前项和．
解：（1），
即 ．
（2），叠加得，
，
右边的求和正好是我们熟悉的错位相消求和，这样的话用错位相消可以得到
．
下面我们用“待定系数法”来求，
令，，
，比较系数可得方程
解方程得，即，
故．

湖北省仙桃市荣怀学校 高中数学 陈强 电话：[phone]