双曲线与双曲线的性质.doc

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双曲线的定义和方程
一、双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两交点的距离叫做双曲线的焦距。
例1、、是定点，，动点满足,则动点的轨迹是（ ）
A、双曲线 B、双曲线一支 C、两条射线 D、一条射线
【练习1】
1、、是定点，，动点满足,则动点的轨迹是（ ）
A、双曲线 B、双曲线一支 C、两条射线 D、一条射线
2、、是定点，，动点满足,则动点的轨迹是（ ）
A、双曲线 B、双曲线一支 C、两条射线 D、一条射线
3、、是定点，，动点满足,则动点的轨迹是（ ）
A、双曲线 B、双曲线一支 C、两条射线 D、一条射线
二、双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上

图形

标准方程

性

质
焦点

焦距

的关系

范围

对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点

轴
实轴长= 虚轴长=

离心率

渐近线

例2、如果方程表示双曲线，的取值范围为
【练习2】
表示双曲线，的取值范围 .
例3、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.
① ② ③ ④

【练习3】求出下列曲线的焦点坐标
（1） （2） （3） （4）

例4、如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 ．
【练习4】
1、设是椭圆的一点，若、是椭圆上的两个焦点，则 ( )
A、4 B、5 C、8 D、10
2、双曲线的焦点为、，点在椭圆上，若, 则 =
3、过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于、两点，为其右焦点，则.

三、双曲线的性质
类型一、双曲线的简单几何性质
例5、求双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标，焦距，顶点坐标和离心率。

【练习5】
1、下列曲线中离心率为的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）
A、 B、 C、 4 D、
类型二、离心率
例6、已知分别是双曲线的左、右焦点，若,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则该双曲线的离心率是 （ ）
A、 B、2 C、 D、3
【练习6】
1.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2．二次曲线，时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的离心率为，则a:b=

类型三、与渐近线有关的问题
例7、双曲线的焦点到渐近线的距离为 （ ）
A、 B、2 C、 D、1
【练习7】
1、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是  （ ）
A．x2－4y2=1    B．x2－4y2＝1 C．4x2－y2=－1     D．4x2－y2=1
3、双曲线的渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为 （ ）
A、 B、2 C、或 D、或
4、双曲线的渐近线与圆相切，则 （ ）
A、 B、2 C、3 D、6
类型四、求双曲线的方程

例8、求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）顶点在x轴上，两个顶点的距离为8，离心率；

（2）虚轴长为6，离心率为2

（3）与双曲线共渐近线，且过点（2，-2）

类型五、双曲线的综合问题
例9、已知双曲线的离心率为，且双曲线
(1)求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于两个不同的点A、B,且线段AB的中点在圆上，求的值。

【巩固练习】
1、曲线和曲线的 ( )
A.焦距相等 B.离心率相等 C.相同的实轴长 D.相同的渐近线
2、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）

3、双曲线的渐近线方程为( )
A、 B、 C、 D、
4、已知双曲线的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
5、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B.2 C. D.1

6、已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为__________;渐近线方程为__________｡

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