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第17章 分式
1．分式
形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。
2．有理式
整式和分式统称为有理式。
例题：
（1）下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？
（2）当x取何值时，下列分式有意义？ ① ② ③ ④
练习：
（1） 一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时。
A. B. C. D.
（2）当a 时，分式有意义。
作业：
把下列有理式中是分式的代号填在横线上
①－3x；②；③；④－；⑤；⑥；⑦－；⑧.
3．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
4．最简分式
分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。
5．最简公分母
各分母所有因式的最高次幂的积
例题：
（1）约分
① ② ③ ④
（2）通分
① ②
练习：
（1）不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )
A. B. C. D.
（2）分式:①, ②, ③, ④中,最简分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6．分式的运算
（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。
（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。
（4）分式的符号法则： （1）；（2）；（3）
例题：
（1）计算
① ② ③ ④
（2）水果店有两种苹果，甲种苹果每箱净重m千克。售a元，乙种苹果每箱净重n千克，售b元，请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？
练习：
（1）若分式的值为零,则x的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4
（2）计算
（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
例题：
（1）计算 ① ② ③
（2）琳琳家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟。若有一天她从家出发迟到了c分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能使到达时间和往常一样？
练习：
（1）化简等于( ) A. B. C. D.
（2）计算
（3）某农场原计划用m天完成a公顷播种任务,要提前b天结束,平均每天比原计划要多播种______公顷.
作业：
计算 ① ②(x+y)·
7．分式方程
（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。
（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。
（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。
例题：
（1）解方程 ① ②
（2）列方程解应用题
2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2个小时输完。问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？
练习：
（1）当m=______时,方程会产生增根。
（2）若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是( )
A.a<3 B.a>3 C.a≥3 D.a≤3
作业：
（1）当x 时，分式的值为负数。
（2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?
8．零指数幂与负整指数幂
（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【注】0的零次幂没有意义。
（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
是正整数）
例题：
（1）计算 ① ②
（2）计算下列各式，并把结果化成只含有正整指数幂的形式
① ②
（3）用小数表示下列各数
① ②
练习：
计算的结果是_________。
作业：
计算 ① ② ③
9．利用10的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，。
例题：
（1）用科学记数法表示
① 0.00003 ②-0.0000064 ③201000000
（2）一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？
练习：
（1）用10的负整指数幂填空
①1毫克= 千克 ②1平方厘米= 平方米
（2）把下列各数用科学记数法表示
①1000000 ②0.0000001 ③-11200000 ④-0.00000112
作业：
自然界隐含着许多规律，一定质量的理想气体，当温度保持不变时，它的压强p与体积V的乘积也保持不变。现在它的压强帕时，体积=2立方米，若这些气体加压到帕时，求这些气体的体积。（已知满足）
第18章 函数及其图像
1．变量与函数
（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。
2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
3表示函数关系的方法
1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。
2）列表法
3）图像法
（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。
例题：
写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。
①圆的周长C与半径r的函数关系式。
②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s与所用时间的函数关系式。
③n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。
（5）求函数自变量的取值范围
1．实际问题中的自变量取值范围 按照实际问题是否有意义的要求来求。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数； (2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；
(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；
(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是求代数式的值。
例题：
（1）求下列函数自变量x的取值范围
① y=3x+1 ② ③ ④
（2）已知等腰三角形的面积是20㎡，设它的底边长是x（米），求底边上的高y（米）关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
练习：
（1）求下列函数自变量x的取值范围
① ② ③
（2）分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因变量，以及自变量的取值范围。
①寄一封重量为20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式。
②如果一个直角三角形中一个锐角是α，那么求另一个锐角的度数β与α之间的函数关系式。
2．函数的图像
（1）直角坐标系
1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。
2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m，称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n，称为点P的纵坐标，得到一对有序实数（m，n），称为点P的坐标，可记为P（m，n）。
3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第
一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。
4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
M
N
x
y
O
P
n
m
1.平面直角坐标系
⑴ 坐标平面内的点与______________一一对应． ⑵根据点所在位置填图
⑶轴上的点______坐标为0, 轴上的点______坐标为0.
⑷ P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
例题：
在直角坐标系中描出点A（2,3），分别找出它与x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标，说出这些点分别在第几象限？
练习：
在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只马的位置分别是
A（b，3）、B（d，5）、C（f，7）、D（h，2）,
请在图中描出它们的位置。
（2）函数的图像
1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标（x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。
2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。
例题：
（1）画出y=0.5x的图像
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
（2）爷爷和小强去爬山，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，两人都爬上了上顶，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用的时间（分）的关系看图回答问题：
①小强让爷爷先上了多少米？②山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
练习：
（1）画出下列函数图像，并判断大括号里的点是否在该图像上。
①y=3x-1，{（0，-1），（-2，-7）（1，-2），（2.5，6.5）}
②
（2）周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示，根据这个图像回答下列问题。
①小李到达离家最远的地方是什么时候？
②小李何时第一次休息？
③10时到13时，小李骑了多少千米？
④返回时，小李的平均车速是多少？
3．一次函数
（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。
一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k0。
特别的，当b=0时，一次函数y=kx（常数k0），也叫做正比例函数。
（2）一次函数的图像
一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别的，正比例函数y=kx（k0）的图像是经过原点（0，0）。
对于直线y=kx+b（k、b是常数，k0），k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。
(3)一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线. 过点(0，b)与直线y=kx平行
例题：
（1）在同一个坐标系内画出下列函数图像，并说出它们有什么关系？
①y=-2x ②y=-2x-4
（2）①将直线y＝-2x＋3向下平移5个单位，得到直线 ．
②直线y=－5x+7可以看作是由直线y=－5x－1向 平移 个单位得到的。
（3）求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。
（4）写出一条与直线y=2x-3平行的直线
练习：
（1）①直线y=－x+2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
②直线y=与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
（2）直线y=2x-3可以由直线y=2x经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．
（3）写出一条与直线y=2x-3平行，且经过点（2，7）的直线
作业：
（1）直线y＝4x－3过点（_____，0）、（0， ）；直线过点（ ，0）、（0， ）．
（2）一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b。
（3)一次函数的性质
设y=kx+b(k≠0)，则
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0， y随x的增大而减小.
当b＞0时，直线交y轴于正半轴；当b＜0时，直线交y轴于负半轴；当b=0时，直线过原点
正比例函数的图象：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是过原点及点(1，k)的一条直线.
当k＞0时，图象过原点及第一、第三象限；当k＜0时，图象过原点及第二、第四象限.
正比例函数的性质：设y=kx(k≠0)，则当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
（2）、求一次函数与x轴、y轴的交点坐标
①与x轴的交点坐标：令y = 0，求x；②与轴的交点坐标：令x = 0, 求y
当k>0时，y随x
x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。
当k<0时，y随x
x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。
当k>0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。 当k>0，b<0时，函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。
当k<0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。 当k<0，b<0时，函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。
例题：
（1）画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答下列问题。
①随着x的增大，y将 （填“增大”或“减小”）
②它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）
③图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
④这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?
⑤当x取何值时,y=0?当x取何值时,y＞0?
（2）某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确定k、b的符号，并说出函数的性质。
① ②
（3）已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,
当m取何值时,y随x的增大而增大?
当m取何值时,y随x的增大而减小?
练习：
（1）已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围 。
（2）若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定（ ）
A.第一、二象限 B. 第二、三象限 C.第三、四象限 D. 第一、四象限
（3）如图，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m,n为常数，且mn≠0）图象的是（ ）
Ｏ
x
y
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
Ａ．
Ｂ．
C．
D．
作业：
(1) 在下列四个函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
Ａ．y=2x Ｂ．y=3x-6 Ｃ．y=-2x+5 Ｄ．y=3x+7
(2) 已知一次函数的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么的取值范围是（ ）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且
（3）直线如图所示，化简： ．
Ｏ
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
x
y
Ｏ
x
y
D．
Ｃ．
B．
A．
（4）如图所示，已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
（4）求一次函数的关系式
待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。
一设 二列 （将点的坐标代入解析式，构造待定系数的方程或方程组，）
（用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组）
三解 （解方程或方程组） 四还原（将解出来的系数代入所设的函数解析式）
例题：
已知函数y=kx+b的图像经过点（-1,1）和点（1，-5）求这个一次函数的关系式，并求当x=5时，函数y的值。
练习：
（1）根据下列条件写出相应的函数关系式。
直线y=kx+5经过点（-2,1）。
（2）小李暑假去旅游，当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃，小李在山脚看了一下随身带着的温度计，气温为34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃，求山高。
作业：
酒精的体积随温度的升高而增大，在一定范围内近似于一次函数关系。现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250升，在40℃时的体积是5.481升，求这些酒精在10℃，30℃时的体积各是多少？
一次函数的图象
正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b，直线y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。
1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：（0，0）和（1，k）两点；
2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象时，只需要找出它与坐标轴的两个交点即可。一次函数与x轴的交点坐标是：（0，b），与y轴的交点坐标是：（，0）
4．反比例函数
（1）一般的，形如是常数）的函数叫做反比例函数。
例题：
（1）已知矩形的面积为15平方厘米，设它的长为x厘米，宽为y厘米,那么y与x之间的函数关系式是 .。
（1）已知-6=0，则y是x的（ ）。
（A）正比例函数 （B）反比例函数 （C）一次函数 （D）不成函数关系
（3）若函数y=是y关于x的反比例函数，则m=
练习：
（1）一台抽水机每小时灌田10公顷，用若干台抽水机灌田300公顷，用解析法表示抽水机的台数n和完成任务所需的时间t（时）之间的函数关系为 。
（2）在下列各式中，不是反比例函数关系的是（ ）
（Α）4xy=1 （B）=2 （C）y=mx-1(m≠0) （D）y=
作业：
（1）若y与z成正比例，z与x成正比例，则y与x成 ；若y与z成反比例，z与x成正比例，则y与x成 ；若y与z成反比例，z与x也成反比例，则y与x成 .
（2）反比例函数的图像是双曲线。
（3）反比例函数的性质
1）当k>0时，函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。
2）当k<0时，函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。
3）反比例函数y=中k的意义：
如图，过反比例函数图象上任一点作轴、轴的垂线、，则所得的矩形的面积=．
例题：
（1）如图：反比例函数y=的图象经过点Α，则k的值是（ ）
（Α）2 （B）1.5 （C）-3 （D）-
（2）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 .
（3）在同一直角坐标系中，函数y=3x与y=的图象大致是（ ）
（4） 在函数的图象上有三点（-1，y1）、（-，y2）、（,y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）.
Α.y2<y3<y1 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y1<y2<y3
练习：
（1）已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ）
Α.（-1，-2） B.（-1，2） C.（1，-2） D.（-2，1）
（2）在函数y=-的图象上有三点Α、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条
垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
Α.S1>S2>S3 B.S1<S2<S3 C.S1<S3<S2 D.S1=S2=S3
作业：
已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8. ①求y是x的函数关系式。②求当x=时，y的值。③当x取何值时，y=1.5。
5．二元一次方程组的图像解法
画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。
例题：
利用图像解下列方程组 ① ②
6．一次函数与一元一次不等式
使一次函数y=kx+b（k0）的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。
例题：
（1）画出函数y=1.5x+3的图像，指出 ①x取何值时，y>0？ ②x取何值时，y<0？
（2）学校准备去春游，甲乙两家旅行社原价为每人60元，且都表示对学生优惠，甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部9折收费，超过30人全部按7折收费。
①试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y关于春游学生人数x的函数关系式。
②讨论选择哪家旅行社较优惠；
③在同一坐标系中画出题①的函数的图像，并根据图像解释题②讨论的结果。
第19章 全等三角形
1．命题
判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。
命题可以写成“如果……，那么……”的形式。
例题：
（1）把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论。
①全等三角形的对应边相等。 ②平行四边形的对应边相等。
（2）指出下列命题中的真命题和假命题。
①同位角相等，两直线平行。 ②多边形的内角和等于180°。
2．公理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
3．定理
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。
例题：
（1）把下列命题写成“如果……，那么……”的形式,指出它的题设和结论,用逻辑推理的办法证明题①.
①同旁内角互补，两直线平行。 ②三角形的外角和等于360°。
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明。
①两个锐角的和是直角。 ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
练习：
试证明“如果两条直线呢垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。”即，已知：如图，AB⊥MN,CD⊥MN,垂足分别是E,F求证：AB∥CD。
4．全等三角形的判定
一般三角形 SSS SAS ASA AAS
直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL
例题1：
如图：点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕
点O旋转180°，可以与△ 重合，这说明△AOB≌△ ，
这两个三角形的对应边是AO与 ，OB与 ，BA与 ，
对应角是∠AOB与 ，∠OBA与 ，∠BAO与 。
练习1：
如图：AE是平行四边形ABCD的高，将△ABE沿AD方向平移，
使点A与点D重合，点E和点F重合，则△ABE≌ ，
∠F= 。
作业1：
如图：点D是等腰直角三角形ABC内的一点，AB=AC，将△ABD
绕点A逆时针旋转90°，点D与点E重合，则
△ABD≌ ，AD= ,BD= 。
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SAS）
例题2：
（1） 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，
（2） 求证△AMD≌△BMC。
（2） AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。
求证：（1）∠B=∠C，（2）BD=CE
练习2：
已知DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
作业2：
已知：AC∥EF，AC=EF，AE=BD， 求证：△ABC≌△EDF。
（3）如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（ASA）
例题3：
如图：△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠BAC, ∠ABC的角平分线，
求证△ABD≌△BAE。
练习3：
已知：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB，BE∥CF，AE∥DF。
求证：△ABE≌△DCF。
作业3
在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。求证：PA=PD。
（4）如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（AAS）
例题4
已知：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
练习4：
已知：∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。 求证：AB=AC。
作业4：
已知AB与CD相交于O, ∠A=∠D，CO=BO，求证ΔAOC≌ΔDOB。
（5）如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
例题5：
已知：AB=DC，BE=CF，AF=DE。求证：△ABE≌△DCF。
练习5
已知：AB=CD，AE=DF，CE=FB， 求证：AF=DE。
（6）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（HL）。
例题6：
在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，DE=DF，
求证△BED≌△CFD。
练习6：
如图：AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE=BF。
求证：（1）AF=CE，（2）AB∥CD。
作业6：
如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA平分∠BAC。
5．尺规作图
只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。
（1）作一条线段等于已知线段
（2）作一个角等于已知角
（3）作已知角的平分线
（4）经过一已知点（直线上、直线外）作已知直线的垂线
（5）作已经线段的垂直的平分线
例题：
（1）任意画出两条线段AB,CD,在作一条线段，使它等于AB+2BD.
（2） 任意画出两个角∠1，和∠2，使∠1>∠2，再做一个角，
使它等于∠1－∠2
（3）如图，已知∠A，试作∠B=∠A
（4）如图，过点P作∠O两边的垂线。
（5）四等分已知线段AB.
6．逆命题
（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外
一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其
中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
（2）原命题为真，它的逆命题不一定为真。
例题：
（1）写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．
①如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；
②如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．
（2）举例说明下列命题的逆命题是假命题：
①如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；
②如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
7．等腰三角形的判定
（1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）。
例题：
如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的大小。
练习：
（1） 已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．
求证：AB=AE．
（2）已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（ ）
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
作业：
如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．
8．勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。
例题：
（1）判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．
① a=7，b=24，c=25； ② a=1.5，b=2.5； ③ a=，b=1，c=。
练习：
已知a、b、c是直角三角形的三条边，c是斜边，且a、b、c都是正整数.当a=5时，b、c只能是12，13；当a=7时，b，c只能是24，25；当a=9时，b，c可以是40，41，也可以是12，15.你能求出当a=15时，b，c可能取的值吗？
作业：
在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，AB=a2-1，其中a﹥1，△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
9．角平分线
到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例题：
如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线。
练习：
如图：在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的
两边OA、OB的距离相等。
作业：
如下图，AM是△ABC的角平分线，N为BM的中点，NE∥AM，
交AB于D，交CA的延长线于E，下列结论正确的是（ ）
A．BM=MC B．AE=BD C．AM=DE D．DN=BN
10．线段垂直平分线
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
例题：
如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，
△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长。
练习：
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于D,
交AC于E,∠EBC=30°，求∠A的度数。
作业：
如下图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，
交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（ ）
A． ∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA
C．∠B=∠BAE D．AC=2EC
第20章平行四边形的判定
1．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
例题1：
（1）BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________．
练习1：
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，
EF∥AC交BC于点F，那么BE=CF，请你说明理由。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
例题2：
如图，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG。求证：EG和HF互相平分。
练习2：
如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，
若AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
例题3：
如图：A、B、E在一条直线上，AB=CD，∠C=∠CBE，
试证明AD=BC。
练习3：
在平行四边形ABCD中，E,F分别是对边BC和AD上的两点，
且AF=CE，求证：四边形AECF为平行四边形。
作业3：
如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的
两点，若BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
例题4：
（1）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.
A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等，一组邻角互补；
B、一组对边平行，一组对角互补； D、一组对角互补，另一组对角相等。
（2）如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是
∠DAB、BCD的角平分线，证明四边形AFCE是四边形。
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例题5：
（1）下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）．
A．一组对边相等; B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行; D．两条对角线互相垂直
（2） 已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又
知G、H分别为OA、OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形。
练习5：
如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，
若
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