第1章111知能优化训练.doc

1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则(　　)
A．B＝45°或135°　　　　　　　 B．B＝135°
C．B＝45° D．以上答案都不对
解析：选C.sin B＝，∵a＞b，∴B＝45°.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D.由正弦定理＝⇒sin C＝，
于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝.
3．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.
解析：在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，
∴A为锐角，sin A＝，BC＝1，
则根据正弦定理知AB＝＝.
答案：
4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：＝.

证明：如图所示，设∠ADB＝θ，
则∠ADC＝π－θ.
在△ABD中，由正弦定理得：
＝，即＝；①
在△ACD中，＝，
∴＝.②
由①②得＝，
∴＝.

一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.根据正弦定理得＝＝.
2．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B.∵＝，∴＝，
又由正弦定理＝.
∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D.由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cos B＝＝＝.
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝(　　)
A．1 B．2
C.－1 D.
解析：选B.由正弦定理＝，可得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.
由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.
故C＝90°，由勾股定理得c＝2.
6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有(　　)
A．两解 B．一解
C．无解 D．无穷多解
解析：选B.因csin A＝2＜4，且a＝c，故有唯一解．
二、填空题
7．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
解析：A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.

解析：由正弦定理，有＝，
∴sin B＝.∵∠C为钝角，
∴∠B必为锐角，∴∠B＝，
∴∠A＝.
∴a＝b＝1.
答案：1
三、解答题
10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.
解：∵sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×＝8.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．
解：法一：根据正弦定理＝，得sin A＝＝＝＞1.所以A不存在，即此三角形无解．
法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．
法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asin B＝5sin 120°＝，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解．
12．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，判断△ABC的形状．
解：法一：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．