二次函数与几何小综合.doc

专题训练(二) 二次函数与几何小综合

►　类型之一　二次函数与旋转平移的综合
1．将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的函数关系式为(　　)
A．y＝－x2 B．y＝－x2－1
C．y＝x2－1 D．y＝－x2＋1
[解析] B　根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都互为相反数求解即可．根据题意，得－y＝(－x)2＋1，化简为y＝－x2－1.
2．如图2－ZT－1所示，已知二次函数y＝－2x2－4x的图象E，将其向右平移2个单位后得到图象F.则图象F所表示的抛物线的函数表达式为____________．

图2－ZT－1
y＝－2(x－1)2＋2或y＝－2x2＋4x
[解析] 方法一：由平移知图象F的二次项系数为－2，y＝－2x2－4x＝－2(x＋1)2＋2，顶点坐标为(－1，2)，平移后图象F的顶点坐标为(1，2)，所以图象F的函数表达式为y＝－2(x－1)2＋2.
方法二：y＝0时，即－2x2－4x＝0，x＝0或x＝－2，平移后图象F与x轴的交点为(0，0)和(2，0)，所以图象F的函数表达式为y＝－2x(x－2)．
方法三：根据图象平移之间的关系，可得图象F的函数表达式为y＝－2(x－2)2－4(x－2)＝－2x2＋4x.
方法四：由于图象E与图象F关于y轴对称，所以图象F的函数表达式为y＝－2(－x)2－4(－x)＝－2x2＋4x.
►　类型之二　二次函数与直线(线段)的综合
3．[桂林中考] 如图2－ZT－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1.

图2－ZT－2
(1)直接写出抛物线的函数表达式____________；
(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A′，C′，当C′落在抛物线上时，求A′，C′的坐标．
解：(1)y＝－x2＋x＋4.
(2)当x＝0时，y＝4，∴点C的坐标为(0，4)．∵左右平移不改变纵坐标，∴点C′的纵坐标为4.∵点C′在抛物线上，且在第一象限，∴4＝－x2＋x＋4，解得x1＝0(舍去)，x2＝2.此时线段向右平移了2个单位，∴A′(0，0)，C′(2，4)．
4．如图2－ZT－3，已知抛物线y＝x2－x－3与x轴的交点为A，D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.
(1)直接写出A，D，C三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD＋MC的值最小，并求出点M的坐标．

图2－ZT－3 　　　图2－ZT－4
解：(1)A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)．
(2)法一：因为点A与点D关于抛物线的对称轴对称，所以连结AC.
设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将A(4，0)，C(0，－3)代入，得
解得k＝，b＝－3，直线AC的函数表达式为y＝x－3.易知M点就是直线AC与对称轴的交点，易知抛物线的对称轴为直线x＝1，将x＝1代入，得y＝－，∴M点的坐标为(1，－)．
法二：∵y＝x2－x－3，∴对称轴为直线x＝＝1.
C点关于对称轴对称的点C′的坐标为(2，－3)，
设直线DC′的函数表达式为y＝kx＋b，将D(－2，0)，C′(2，－3)代入，得
解得k＝－，b＝－，直线DC′的函数表达式为y＝－x－.易知M点就是直线DC′与对称轴的交点，将x＝1代入，得y＝－.∴M点的坐标为(1，－)．
►　类型之三　二次函数与三角形综合
5．[甘孜州中考] 已知抛物线y＝x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是________．

图2－ZT－5
[答案] 3
[解析] ∵抛物线y＝x2－k的顶点为P，∴P点的坐标为(0，－k)，∴PO＝k.
∵抛物线y＝x2－k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA＝OB，∠OPB＝30°，
∴tan30°＝，即＝，解得OB＝k，
∴点B的坐标为(k，0)．
又点B在抛物线y＝x2－k上，
∴将B点坐标代入y＝x2－k，得(k)2－k＝0，
解得k1＝0(不合题意，舍去)，k2＝3，
∴k的值为3.
6．如图2－ZT－6，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是(　　)

图2－ZT－6

图2－ZT－7
[解析] C　过点Q作QF⊥AD于点F，在Rt△ABE中，∠ABE＝45°，∴BE＝·AB＝2 ，∴DE＝BE＝2 .∵PQ∥BD，∴∠EPQ＝∠EDB，∠EQP＝∠EBD.∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠EPQ＝∠EQP，∴PE＝QE＝2－x，在Rt△EQF中，∠FEQ＝45°，∴QF＝·EQ＝2－x，∴y＝x(2－x)＝x－x2，求得该二次函数的最大值为，故选择C.
►　类型之四　二次函数与平行四边形的综合
7．如图2－ZT－8，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A(1，0)和点B(4，0)．

图2－ZT－8
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方的对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．
解：(1)把点A(1，0)和点B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2，得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x＋2.
(2)根据A(1，0)，B(4，0)，得点E的坐标为(2.5，0)，即OE＝2.5.
由FC∥x轴，当FC＝OE＝2.5时，四边形OECF是平行四边形，
即C点的横坐标为5，代入y＝x2－x＋2，得
y＝×52－×5＋2＝2，
∴C点的坐标为(5，2)．
8．如图2－ZT－9所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，已知点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线所对应的函数关系式．

图2－ZT－9
解：由四边形ABCD是平行四边形，得C(5，4)．
把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得
所以抛物线所对应的函数关系式为y＝－x2＋x＋4.
►　类型之五　二次函数与特殊四边形的综合
9．[菏泽中考] 二次函数y＝x2的图象如图2－ZT－10，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为________．

图2－ZT－10
[答案] 2
10．如图2－ZT－11，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的关系式．

图2－ZT－11
解：由题意，得C(0，2)，B(2，2)，
所以所以所以该二次函数的关系式为y＝－x2＋x＋2.
11．如图2－ZT－12所示，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴交于点B.

图2－ZT－12
(1)求抛物线所对应的函数关系式；
(2)设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积．
解：(1)∵一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，
∴A(－1，0)，C(0，－4)．
把A(－1，0)，C(0，－4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，
得解得
∴y＝x2－x－4.
(2)∵y＝x2－x－4＝(x－1)2－，
∴顶点为D(1，－)．
设直线DC交x轴于点E，
由D(1，－)，C(0，－4)，
易求直线CD所对应的函数关系式为y＝－x－4，易求E(－3，0)，
由y＝x2－x－4＝0，得B(3，0)，
∴S△EDB＝×6×＝16，
S△ECA＝×2×4＝4，
∴S四边形ABDC＝S△EDB－S△ECA＝12.
12．如图2－ZT－13所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)．矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，菱形ABCD的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形EFGH的面积为S米2.

图2－ZT－13
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留根号)．
解：(1)如图2－ZT－14，连结AC，BD，设AC与EH交于点M.

图2－ZT－14
∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理，得到△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝AB－AE＝4－x.
在Rt△AEM中，∠AEM＝∠ABD＝30°，
则EM＝AE·cos∠AEM＝x，

∴EH＝2EM＝x，
故可得S＝(4－x)×x＝－x2＋4 x.
(2)易求得菱形ABCD的面积为8 米2，
由(1)得矩形EFGH的面积＝(－x2＋4 x)米2，
则可得四个三角形的面积为(8＋x2－4 x)米2.
设总费用为W元，
则W＝20(－x2＋4 x)＋40(8 ＋x2－4 x)
＝20 x2－80 x＋320
＝20 (x－2)2＋240 .
∵0＜x＜4，
∴当x＝2时，W取得最小值，W最小值＝240 .
即当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用为240 元．