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“二次函数牵手几何图形”的归纳与演绎活动过程的教学实践与思考

通州区第六中学

谭文军

一、问题提出：
二次函数与几何图形结合而产生的系列问题，涉及到的内容非常丰富。如求三角形面积、四边形面积的最大值问题，三角形周长的最小值问题，相似三角形中动点坐标的确定问题等，都是以三角形知识、相似三角形的知识、二次函数的知识为基础的，它的建立是对几何中相似三角形判定与性质、代数中二次函数性质的一次充实，是九年级重要知识点的整合，所涉及到的思想方法也将是高中阶段学习平面解析几何的基础。尤其是二次函数与几何图形结合所产生的问题，既是北京版教材九年级第一学期期中之前的重点，也是难点. 又是综合考察学生能力的关键.因为只有正确掌握了解决二次函数与动点的有关问题，才能真正理解函数与几何之间的关系，从而才能利用这些关系解决问题。此内容又是数形结合的典范.因此，二次函数“牵手”几何图形是在北京版数学教材第17册第19章、第20章全部学习后，我根据中考题型、学生情况而自编的一节研究型的复习课.学好本节内容是十分必要的，对知识的整合与提升尤为重要.
学生情况：学生前面已经学习了相似三角形、二次函数的知识，为二次函数中因动点而产生的相似三角形问题的学习提供的必要的知识储备。但是，各个知识点之间是孤立的。具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流能力。
所以，有必要也有可能，在我们日常的课堂教学中，寓德育于数学教育，转变教育观念，确立学生的学习主体地位；通过实行启发式和讨论式教学，激发学生独立思考和创新意识，让学生实现数学知识的“再发现”、“再创造”，让学生感悟知识的产生和发展过程，积累数学归纳和演绎活动经验，以达到提高学生思维能力、重点是培养学生创新意识和实践能力的目的。
二、教学目标
（一）知识与技能：⒈ 通过学生测验中产生的实际问题，使学生理解并认识求解二次函数与几何图形结合而产生的系列问题的方法；
2．学会根据点坐标转化为距离，会利用相似三角形性质列方程．
（二）过程与方法：1.经历动点坐标的探求过程，会判断点坐标的合理性，体会数形结合的思想．
2．探求点坐标的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。
（三）情感态度价值观：1．通过二次函数中因动点产生的相似三角形问题的求解，使学生经历从数形、由形到数的认识过程．
2．让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的综合性，从而培养学生学习数学的兴趣．
三、设计思路
（一）指导思想与理论依据：
建构主义学习理论认为：知识不是通过教师传授获得的，是学习者在一定的情景即社会文化背景下，借助于他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资源，以自主建构的方式获得的。建构主义学习理论的核心是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。
《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
因此，在本节课的每个教学活动中，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。
（二）教学流程
根据自觉性与目的性相结合的数学教学原则，教师应设法激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，使学生自觉参与教学过程。其关键在于教师能够引导学生发现和提出问题，创建合适的问题情境，使学生真正感受到所研究问题的重要性、必要性，产生急于解决问题的愿望，并主动投入问题的解决过程中去。据此，可以通过问题系列把二次函数图象上因动点而产生的系列问题的教学设计成一个不断发现问题、分析问题、解决问题的问题解决过程，主要分为四个阶段：
1. 先期预热
这是一个创设问题情境、初步感知的过程。在教学开始阶段，教师通过提供给学生曾经考过的一个问题，以及展示部分学生当时解答试卷的情况，将学生引入一定的问题情境，激发学生兴趣和求知欲，调动学生积极思考。这一阶段要解决的问题是：如何求这个二次函数的解析式以及求解二次函数解析式的一般方法。
环节（1）.小试身手:
（一）问题情境：
问题1.回顾前几天测验卷子上的问题
已知：如图4-3-1，二次函数图象的顶点坐标为C(1,-2)，直线的图象与该二次函数的图象交于两点，其中点坐标为(3,0)，点在轴上．点为线段上的一个动点（点与点不重合），过点且垂直于轴的直线与这个二次函数的图象交于点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点的横坐标为,求线段的长
(用含x 的代数式表示)；
（3）点为直线与这个二次函数图象对称
轴的交点，若以点为顶点的三角形
与△AOB相似，请求出点的坐标． 图4-3-1
问题2.展示部分同学的试卷，分析有哪些问题？
由难点揭示本节课课题
2.初步探索阶段
这是进入到学生“再发现”、“再创造”解决二次函数图象上因动点而产生的系列问题中的具体内容的初级阶段。教师可以在探索方向上给以适当的启发引导，可以按照学生先发散后聚集、先特殊后一般的认识规律，要求学生个人先提出有关新的图象，再集体讨论解决每个问题的方法。这里的关键是学生对“最值”求法的探索，教师可以根据学生的回答给学生以反馈，但要逐渐增加问题的探索性成分，逐步让每个学生自己去探索。这一阶段要解决的问题是求最值的一般方法。
环节（2）.彰显你的智慧:
说一说：（快速抢答）
对于问题（1）、由会答的同学分析解题思路，讨论不同解题方法.教师给出标准答案，强调规范性.以此既夯实双基，又面向全体学生，调动学困生学习数学的积极性.
解：（1）设二次函数的解析式为
∵(3,0)在抛物线上，

议一议：求解二次函数解析式的一般方法及使用条件
赛一赛：以小组为单位思考：还可以提出哪些问题？如何解答？
想一想：（快速抢答）
对于问题（2）、由会答的同学分析解题思路，教师引导学生注意定义域后，学生再思考：还可以提出哪些问题？如何解答？并与教师编的题目比较,以此来激发学生的创新思维.
（2）解：抛物线与y轴交点B的坐标为
设直线AB的解析式为y=kx+m，

∵为线段上的一个动点，
∴点坐标为. （0<x<3）
由题意可知PE // y轴，∴E点坐标为
∵0<x<3
∴PE= ………5分
议一议：求最值的一般方法
（1）代数法： 揭示问题中变动元素的代数
构造二次函数求最值
利用方程、不等式等关系求最值
（2）几何定理（公理法）：利用几何中的不等量性质、定理.
最常见的几何性质：两点之间线段最短；斜边大于直角边；垂线段最短……
3.独立探索阶段
这是学生解决二次函数图象上因动点而产生的系列问题中的具体内容的“再发现”、“再创造”的主要阶段。教师在向学生明确给定前提条件后，可以放手让学生自己去发现问题，确定要探索的目标，尝试解决问题，独立地进行探索。由于每一个学生都以自己的经验为背景建构对事物的理解，可能只是理解到事物的不同方面，因此，不同的学生可能对问题有不同的探索结论。教师可以组织学生进行合作、讨论和争论，使学生相互了解彼此的见解，不断反思自己的思考过程，调整、超越自己的认识，丰富自己的理解。这一阶段要解决的问题是：利用相似关系求点坐标。
环节（3）.挑战你的技能：
讲一讲：问题(3)是这节课的难点，让对的学生去分析，去讲解，引导其他学生去思考，去转化，去分类，最后，要求学生书写其中一种情况，请他情况课后整理在总结本上.最后教师给出标准答案，以供参考书写格式.答案如下（图4-3-2）：
（3）由题意可知点横坐标为x=1，又点在直线上，∴点坐标（1 ，-1）.
①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，.
过点D作DQ⊥PE于Q，∴xQ= xP =x ，yQ = -1
∴△DQP∽△AOB∽△EDP ，
又，
又 ∴
∴，
解得（负舍）.
∴（如图中的P1 点）. ………6分
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，.
由（2），
∴，解得（负舍）.
∴（如图中的P2 点）. ………7分
综上所述，P点坐标为或. 图4-3-2
想一想：1.总结整理刚才解决这道题目所用到的一般方法是什么？
(机动)：以小组为单位，对这道题目进行改编，使得题目更精彩，并把解题方法告诉大家.同时与老师改编的题目进行比赛，看哪些小组编的好，做得好.
问题（3）D为直线AB与抛物线对称轴的交点，延长EP交X轴于F点
预案1：求三角形APF的面积及最值
预案2：在线段AB上是否存在一点P，以P、E、D为顶点的三角形与BOG相似.若存在，请求出P的坐标；否则，请说明理由．
……
4．比较、收获、升华阶段
这是学生通过观察、比较，分析、综合，试验、猜想，抽象、概括，在积累了探索的一系列正面和反面的经验及初步应用和反思之后，最终获得了对二次函数图象上因动点而产生的系列问题中的“再发现”、“再创造”和正确认识的阶段。这一阶段要回答的问题是：本节课我们研究了哪些内容？你有什么收获？预设:
引 例（课前考试题、揭示课题） 小试身手（求解二次函数表达式） 彰显你的智慧（自己编题，求解最值） 挑战你的技能（求解由相似条件而确定的点坐标问题）
研究了二次函数图象上的动点问题，涉及到三角形、四边形面积的最值大问题、三角形周长的最小值问题、相似三角形中确定动点坐标的问题等
（1）求解二次函数解析式的一般方法及使用条件
(2) 求最值的一般方法
（3）函数中因动点产生的相似三角形问题一般的解题途径
思考: 课堂延伸 (thinking)在这个题目的基础上，若把已知条件中的线段AB改为直线AB，所求结果依然成立吗？为什么？
作业：
A组：在作业本上改错题
B组：在总结本上整理同学编的题目
四、教学方式：本节课采用“探究与合作交流”的教学方法，通过自主探索、合作交流对二次函数中因动点而产生的相似三角形问题进行探索．对于动点问题的探索由简单到和复杂构成．其中蕴涵的数学思想分类讨论、数形结合、方程思想等，带领学生由“数”的认识到“形”的认识，由“形”到“数”．在学生探索问题的过程中，教师要有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流，引导学生在活动中自觉地进行思考．
教学手段：本节课使用的媒体资源主要是计算机、PPT课件。教师应用多媒体课件创设情境，以帮助学生思考，为学生观察猜想创造条件，使之成为学生认知的工具.
五、学习效果评价
评价方式、方法：
在课堂观察的基础上，教师根据学生口答的情况和探究活动的表现填写好下表4-3-1：
姓名 班级 时间
项目
因素
A
B
C
说明
情感与态度
举手发言

A：积极；B：一般；
C：需努力
参与活动

A：认真；B：一般；
C：需努力
认真情况（动手、讨论、思考等）

A：能； B：很少；
C：不能
大胆提出与他人不同的想法，
尝试表达想法

知识与技能
理解二次函数与相似三角形的概念及性质

A：深刻；B：基本；
C：较差
能应用二次函数与相似三角形的概念及性质进行综合应用

A：熟练；B：基本；
C：较差
思维与方法
思维的活跃性与严密性
（从不同角度观察、思考）

A：能； B：一般；
C：不能
思维的条理性、逻辑性，
表达清晰度

A：强； B：一般；
C：差
交流与合作
认真听取意见并能作出询问

A：强； B：一般；
C：不能
积极表述自己的意见

同伴评价

教师寄语

六、教学反思
教师在教学中应合理巧妙地创设教学情境，引导学生在对比、归纳、总结中发现问题是很重要的，然后再是不断思考怎样解决问题，有疑才会有问，有问才有所思，有思才能促进学习能力的升华。通过对比、归纳、总结去促进数学思维能力的提高。这三种基本思想方法不仅具有一般学科思维能力的特征，同时还具有数学学科的特征，根据它的特征我在教学活动中主动、自觉地着重培养学生的归纳总结数学思维能力。所谓归纳，是指通过分析部分特殊的事例概括得出普通的结论，它是一种由特殊到一般的推理方法，不过需注意的是，并非所有推出的结果都为真，除了完全归纳可以用作证明外，归纳法只能作为一种发现“似真”结果的方法，归纳是以观察为基础，以发现为特色，无论是建立在类比的基础上还是建立在抽象分析上的归纳都离不开观察，这是归纳的主要特征。所以在教学中，要善于运用各种对象之间的联系进行比较、观察，引导学生主动分析各对象的构成和已有的归纳结果，根据前人归纳结论中，领悟归纳思想，从而提高归纳能力。把对比、归纳、总结这三种思想方法融入到整个教学过程中，引导学生自主学习，来亲近数学，体验数学，“再创造”数学和应用数学，真正成为数学学习的主人。这样既能达到提高学生基本数学素养的要求，又能让学生产生一种极大的内趋力去主动探索数学的奥秘，体验解决数学问题过程中创造和挖掘不同的思路，而让学生感受成功和喜悦的体验。同时，重视学生学习方式的变革，以学生为中心，学习过程设计中突出为学生提供体验与实践的机会。尤其是在解题教学中，更应注重调动学生探究的积极性与主动性，把解题过程看成是学生重新“再认识”、“再创造”的过程，会反复经历观察、实验、比较、判断、归纳与总结、应用的过程，从而培养学生归纳与演绎的能力。解题过程是学生在自身经验的基础上，在与环境的积极互动中主动建构的，在真实情境中亲身经历实践是十分必要的，实践是培养学生的归纳与演绎能力、质疑与反思精神不可或缺的。正如美国著名心理学家布鲁纳曾指出：“学习是一种能力的建构过程，应着重培养学生的学习能力，使整个教学过程中学生成为一个积极的探索者。”而如何使数学教学科学化，最优化，是作为教学组织者的需要时刻思考的问题。