蝴蝶定理的证明及推广.doc

校选课《数学文化》课程论文

摘 要
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。

关键词：蝴蝶定理；证明；推广；

一 摘要

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。
[2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。

在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
二 蝴蝶定理的证明
（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于

得共圆；共圆。
则
又，为的中点，从而，
则 ，于是。[1]
证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则
联结交圆于，则与关于对称，即
。又

故四点共圆，即
而
由、知，，故。
证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有
，
由上述两式相乘，并注意到

得

化简上式后得。[2]
2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法 4 （Steven给出）如图5，并令

由，即

化简得
即 ，从而 。
证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有

上述两式相减，得

设分别为的中点，由，有

于是 ，而，知，故。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
。直线的方程为，直线的方程为。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

令，知点和点的横坐标满足二次方程，
由于的系数为，则两根和之和为，即，故。[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

直线、的方程可写为,。
又设的坐标为，则分别是二次方程
的一根。在轴上的截距为
。
同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。
证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则
即

作于，作于。注意到
由与可得
将代入可得，即。
二 蝴蝶定理的推广和猜想
（一） 猜想 1　在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍
可能会有 PM = QM .
推论 1　过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]
（二）猜想 2　在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2　已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.
证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K .
连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③
又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤
由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想 3　既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .
推论 3　 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.
证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]
结 论

从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：
1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
2 .圆可以改为任意二次曲线。
3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。
4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立
正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。

参考文献
[1] 沈文选.《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》[M].哈尔滨工业大学出版社,2007年1月14日。
[2]江翔宇，《芜湖一中研究性学习课题论文 》[J]。2010年9月4号。
[3] 朱树海，《蝴蝶定理的猜想推理推广》[J] ，《中学数学杂志》，2009年10期。
[4]张景中，《新概念几何》[M]。北京: 中国少年儿童出版社,2002, 1。
[5]单墫，《平面几何中的小花》[M]，上海:上海教育出版社,2002,5。
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