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第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数的意义
广元市朝天区两河口乡小学 刘少华
温故知新 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
提问：我们已经学习了哪几种类型的函数？

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学习目标：
①理解二次函数概念，会对自变量取值范围进行判断．
②掌握二次函数的一般形式，会将简单的实际问题用二次函数关系式表示．
讨论与思考：
1、正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？
y=6x2
2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
d= 1/2 n(n-3)
即 d=1/2 n2-3/2 n
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
y=20(1+x)2
即y=20x2+40x+20

观察与发现
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
自变量
函数
y=6x2

x
y
d=1/2 n2-3/2 n

n
d
y=20x2+40x+20

x
y
这些函数有什么共同点？
这些函数自变量的最高次项都是二次的！

二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
注意：
1. 自变量的最高次数是2
2. 二次项的系数a≠0，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
3. 二次函数解析式必须是整式
其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数
bx是一次项，b是一次项系数
c是常数项。

练习、下列函数中，哪些是二次函数？

例题讲解
例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.

(1) y＝1- (2)y＝x(x－5)
(3)y＝ 1/2 x2－3/2 x＋1

(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
(5)y＝ (6) y＝

(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

例2: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由题意可得

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识拓展
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。
小结：

1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围一般情况是全体实数（当遇到实际问题是要根据实际问题确定取值范围）.