导数的实际应用.doc

济南市长清中学
高二数学（理科）导学案
编号：X2-2-4 课型：新授课 编制人： 李震 审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名：
课题：导数的实际应用
【学习要求】
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
【学法指导】
1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．
2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
【知识要点】
1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．
2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的
【问题探究】
题型一　面积、体积的最值问题
例1　如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

跟踪训练1　已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

题型二　强度最大、用料最省问题
例2　横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？

跟踪训练2　挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？

题型三　省时高效、费用最低问题
例3　如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？

跟踪训练3　如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？

跟踪训练4　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

【巩固练习】
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 (　　)
A．4 B．6 C．4.5 D．8
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？

3． 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【课堂小结】
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；
（2）列模型：列出实际问题的数学模型；
（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
（6）结论：根据比较值写出答案．
2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.
【教学反思】

个性笔记

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