合理分层-上好复习课.doc

合理分层，上好复习课
——以《一元二次方程复习课》为例
一、背景
学校全面推广分层教学，通过“分层施教”策略展示“以人为本”的教学理念，分层分组教学充分调动了学生的积极性，让学生在自己能达到的高度上学有所获，拉近师生、生生之间的距离，形成了良好的教学环境。本文将从课堂用题设计和课堂组织的角度结合“一元二次方程复习课”谈谈这一策略。
二、案例：“一元二次方程复习课”
（一）教学准备
1．学生定级分组
（1）定级：按照学生的认知水平分成A、B、C三级，其中A级为数学成绩低的学困生，B级为数学成绩中等的学生，C级为数学成绩优秀的学生，根据阶段性检测成绩调整相应的级别。像我们班55人，根据第三次阶段性检测成绩，A级学生有15人，比上次分级少了2人，数学成绩0～69分，B级学生20人，人数和上次一样，数学成绩70～85分，C级学生20人，比上次分级多了2人，数学成绩86～100分。
（2）分组：先按照“同组异质”的原则把学生分成“互助型小组”。55人，6或7人一小组，每组C级至少2人，B级至少2人，A级最多2人，分两排坐，C级坐在中间，并选其中成绩好能力强的为大组长，两侧前后不能同为A级，要和B或C级交叉坐。再按照“同组同质”的原则把学生分成“探究型小组”。55人，5～7人以小组，A级共15人，5人一小组，共3组，换组交流时集中在讲台前面的3组；B级共20人，6或7人一小组，共3组；C级共20人，6或7人一小组，共3组；B、C级换组交流时B组、C组交叉安排，便于部分A级或B级学生在交流缓冲区交流更高级别的问题。
（3）设讨论区：根据需要将“互助型小组”和“探究型小组”这两种小组组合使用，预设一个“A级讨论区”、“B级讨论区”和“C级讨论区” ，在相邻的小组预设“交流缓冲区”。
2．复习目标分级要求
课时目标
分级要求
序号
认知内容
A
B
C
1

一元二次方程的概念以及根的意义
能正确认识一元二次方程的一般形式，能注意到二次项系数不为0，会将根代入方程

会将多项式整理成一般形式，能在具体例子中识别各项系数的取值，会将根代入方程
会将复杂的多项式整理成一般形式，
对含有字母的系数正确取值，会将根代入方程
2

一元二次方程的解法、根的判别式及根与系数的关系
能解简单的一元二次方程，会用根的判别式及根与系数的关系解决简单问题
能熟练根据方程的特征选择合适的方法解一元二次方程，会用根的判别式及根与系数的关系解决较复杂问题
能解较复杂的一元二次方程，会用根的判别式及根与系数的关系解决较复杂问题
3

一元二次方程的应用
能列一元二次方程解决一步的增长率问题、利润问题、几何问题
能列一元二次方程解决较复杂的增长率问题、利润问题、几何问题
能列一元二次方程解决较复杂的增长率问题、利润问题、几何问题，会对知识进行迁移
3．复习活动精心选题
作为复习课，关键是完成本单元的知识梳理和能力提升，为学生建构、完善认知结构。本课用题时，通过分析本章的知识框架图（如图1），并结合课标要求的教学目标和学生的学情，设计了三个活动，并对第二个活动进行了分层选题，分级编排，同时将题目纵向链接，以确保例题和练习紧扣学情与目标，顺应学生认知发展规律，充分体现复习课的基础性、综合性、前瞻性的特点。具体做法是：根据教学目标，先是精心挑选了难度中等的一组题梳理一元二次方程的概念、解法的相关知识；在第二个活动中，笔者选择了适合各个等级梯度的题组，复习一元二次方程的应用，以待形成一个完整的知识网络建构。最后的课堂练习也是精心挑选，分级设置，这样可以最大限度的让每个等级梯度的学生都有所获，也都能感受到学习带来的乐趣。

（二）用题编排
根据教学需要，笔者在“基础扫描，以题理知”，“分层训练，交流提升”，“检测反馈，分层训练”三个环节都设计了相应难度等级的题目，1、2环节的题目，不仅要学生自主解答，还要进行小组交流和全班交流；第1环节的题目完成后在互助型小组内交流，第2环节的题目完成后在探究型小组内交流，第3环节中的题目主要用于学生练习。
活动一 基础扫描，以题理知
1．方程是关于x的一元二次方程，m的值为________．
2．方程的根为　 　．
3．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　 ．
4．设x1，x2分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝　　　，x12＋3 x1＋x2=　　　　　　．
5．用配方法将方程x2－2x－5＝0变形为（x－m）2＝n的形式是　 　 ．
6．解方程
（１）x2－5x＋1＝0　　　　　　　　（２） (2x－1)2＝2 (1－2x)
设计意图：作为对本单元基础知识的扫描，根据教学目标，笔者预设了六道练习题。这六道题针对性很强，在梳理知识的同时，还能完善学生的认知结构。第1题指向“理解一元二次方程的有关概念”这一复习目标；第2、5、6题指向“会根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理”；3，4题明显是针对“会用根的判别式及根与系数的关系解决相关问题”设置的。这样设置，难度中等，不重不漏，使每名学生都能有所收获。
活动二 分层训练，交流提升
A级
1．某超市2017年1月份的营业额为1万元，3月份的营业额为1.21万元，该超市2017年前3个月营业额的月增长率相同，求月增长率．
2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天
可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，设每千克核桃降价x元，则可
列方程为　　 　　　　　　．
3．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，修建的路宽为x米，则可列方程为　　 　　　　　　．

B级
1．某超市2017年1月份的营业额为1万元，第一季度营业额为3.31万元，设该超市
2017年前3个月营业额的月增长率相同为x，则x满足的方程是　　 　 ．
2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
3．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，则出发后t为何值时，PQ的长为5cm？

C级
1．某超市2015年1月份的营业额为1万元，3月份的营业额为1.21万元，若该超市2015
年前4个月营业额的月增长率相同，则该超市2015年4月份的营业额为　　 万元．
2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克核桃应降价多少元？
3．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，
（1）出发后t为何值时，△PBQ的面积为6cm2？
（2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
设计意图：第2环节针对“掌握列方程解实际问题的一般步骤，会列方程解实际问题”而设置的，这是本节课的重点，又是难点．每一题组都按“增长率问题”、“利润问题”、“几何图形问题”的顺序排列，根据各级学生能力和复习要求的不同，三道应用题纵向比较，题目难度也就自然不断递增了。就这样分层设置，层层推进，使每名学生都能积极思维，部分同学还能“跳一跳”获得更多的成功体验．
第1题“增长率问题”，A级题目只要根据基本关系式a(1±x) 2 ＝b列式计算，B级题目要考虑“第一季度”的含义，C级题目在求出增长率的基础上计算“4月份的营业额”；第2题“利润问题”，A级题目根据“单件利润×数量＝总利润”列出方程，数量上“单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克”，B级题目其他条件不变，在数量上改为“单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克”，并解出答案，C级题目在B级题的基础上添加了“为尽可能让利于顾客，赢得市场”，对方案进行取舍；第3题“几何图形问题”，A级题目利用平移转化为矩形面积，用矩形面积公式列出方程，是常见的基础题，B、C级题目条件相同，在原题的基础上适当修改，强调“出发后”，属于动点问题，B级题利用勾股定理列方程解答，注意根据题意对方程的根进行取舍，C级题利用三角形面积公式列方程，第（1）题两根均符合题意，第（2）题利用根的判别式进行判定，训练学生知识的迁移能力．
综上所述，这里设置的各级题目既是一些变式，又符合各级学生的分级目标。
活动三 检测反馈，分层训练
（A级）
1．关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是____ 2．已知方程x的根是x和x，则+=
3．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降
价的百分率为x，则列方程为　　 ．
4．解下列方程：
（1） (2)
（B级）
1．关于x的一元二次方程x2＋2x＋2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m＝0的两个根，且x12＋x22＝8，求m的值．
2. 某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）若该地异地安置的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入资金多少万元？
（C级）
1．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=6x1x2﹣15，求k的值．
2．某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队
旅行社导游收费标准的一段对话：
领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？

备用题
1．已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2－2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，且
（x1－1）（x2 －1）＝28，则m的值为 ．
2．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是 （ ）
A.(1+x)2= B.(1+x)2= C.1+2x= D.1+2x=
设计意图：课堂练习是本节复习课的最后一步，也应该是这节课的点睛之笔，所以选择合适的题组进行训练就显得非常重要了，笔者也是精心准备，分层进行。A、B、C三级题组还是围绕课标要求和学生的学情进行选择，同时还对前面已经呈现的题目进行了变式和补漏。像A级题组中的第4题增加了直接开平方法解方程；B级题组第2题增长率问题的条件进行了变式；C级题组第2题改变了题意的呈现方式，也改变了问题的问法，增添了题目的灵活度；备用题根据自己的解题速度和能力选做，第2题仍然是增长率问题的变式，关键要理解“涨停、跌停”的含义；这些题组是根据分级目标设置的，意在让学生完成和自身等级梯度相符合的练习题目以达到本节复习课的最终目的，当然要是能完成比自身高一等级的题目会让学生对数学学习产生更大的乐趣，真正做到“乐学”。
（三）课堂组织
1．活动一课堂组织
独立完成： 认真完成各题，第6题两名学生上黑板板演。
小组交流：题目完成后，小组长组织组员在互助型小组内交流以下内容：（1）解题结果；（2）共性错误及个人避错策略．
全班交流：学生从第一组开始依次说说各题的知识点和注意点，老师根据交流内容归纳板书。
归纳提升：我们解一元二次方程，根据方程的结构，选择合适的方法，将二次方程转化为一次方程，实现了“降次”的目的，有关方程的知识，除了定义、解法，还有应用．大家有没有信心完成活动二。
2．活动二课堂组织
独立完成：独立完成相应级别的题目，A级第1题、B级2、3题，C级第3题上黑板板演，在交流前你还可以继续探索更高级别的问题。
换组交流：到探究交流区或缓冲交流区交流以下内容：（1）解题结果；（2）解题思路及注意点。
全班交流:
（1）先说说增长率问题:学生 A、B、C组依次说题，老师小结并板书：经过两次等增长率的增长，增长前的量为a,增长后的量为b,基本关系式为a(1±x) 2＝b。
（2）再说说利润问题:学生A、B、C组依次说题老师小结并板书：利润问题的基本关系是：单件利润×数量＝总利润；A组订正并解出第二题的方程。
（3）B、C组说说几何图形问题：学生 B、C组依次说题，老师小结并板书，几何图形问题：先用含有字母的式子表示线段的长，再根据勾股定理或面积公式建构方程模型，将形转化为数，数形结合。
3．课堂小结
请同学们回到互助小组内完善解题过程，C组关注相应的A组同学的解方程，并交流学习收获。
通过复习，我们进一步认识了一元二次方程的解法，并将几种类型的实际问题，通过列方程转化为数学问题，并给出了完整的解题过程，请大家应用所复习的知识和方法完成检测反馈。
4．活动三课堂组织
先独立完成相应级别的题目，完成后交给老师或组长面批，还可以思考更高级别的题目或备用题。
三、案例分析
笔者把整节复习课重点放在了选题和用题上，都是紧扣《数学课程标准》和学生的学情进行筛选的，基础扫描、分层训练的题组就是本章基本知识点的缩影，坚决不选多余的、无关的题目，对重点知识选用难度中等题加强训练，对学生的基础差异起到一个很好的弥补作用，更重要的是对知识点进行了梳理，对难点知识分层选题，不超出各个等级梯度学生的认知水平，最后的课堂练习则是在分级目标的背景下精心挑选的题组，去掉那些已经做过的题型，对本章知识点进行很好的训练和补充，最大限度的发挥了复习课中的题目训练所起到的作用。由于学生对于解方程步骤掌握的比较好，但实际应用是学生的难点，同时学生对本章还没有能形成完整的认识，通过本节课的复习，旨在提高学生对本章知识的整体认识以及运算能力、应用能力的提升。通过应用与实践，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生主动分析问题的习惯，进一步加深了学生对本章基础知识的理解以及基本技能的掌握。这样学生就可以在独立思考的基础上，充分利用题组训练，再积极参与到同质小组交流和异质小组交流中去，在对数学问题的讨论与交流中获得最大利益。
四、关于课堂分层教学的几点思考
（一）选题以学情、课标为基础
先根据《义务教育数学课程标准（2011版）》，分析所教班级学生的学情，在分级制定出教学目标，最后紧扣目标精心选题。以本节课为例，目标4的认知内容为“列方程解实际问题”，笔者为A级学生设置的目标是“能列一元二次方程解决一步的增长率问题、利润问题、几何问题”，为B级学生设置的目标是“能列一元二次方程解决较复杂的增长率问题、利润问题、几何问题”，为C级学生设置的目标是“能列一元二次方程解决较复杂的增长率问题、利润问题、几何问题，会对知识进行迁移”。这样的目标界定源于班级学生在一元二次方程学习中的差异，笔者通过精心挑选与目标相配套的题组进行训练。通过不同层次，不同级别题组的编排，让学生在原有认知的基础上，学有所成。第一组题目，四道题紧扣目标，以实现梳理知识点的目的；分层训练纵向变式，三道题贴近学生的认知水平，难度逐题递增；课堂练习，选题紧紧结合分级目标和学生的学情，意在通过训练将本课回顾的知识进行很好地巩固，以实现“颗粒归仓”的目的。这样的选题，紧扣学情、课标，各个等级的学生都能通过努力实现本课的学习目标，激发了学习兴趣，让每个学生自信、快乐地获取知识、形成技能。
（二）选题 “保底”、不“封顶”
所谓“保底”，即守住底线，也就是课程标准，这是教学的底线，更是选题的底线，所选题目的解题要求必须达到或超过这根底线。不“封顶”主要针对解决本级题目有“余力”的同学，通过编排高级别的题目链接或“备用题”让他们能用“余力”进行思维训练上的突破。只有这样的原则指导下的备题，才能保证课上解题训练时的“保底”不“封顶”。具体说来，每个等级的学生完成和对应等级的题目，但低一等级学生做完对应题目后，还可以做高一等级的题目。这样层层推进，不少学生通过努力就可以达到更高一级别的目标，既能激发学生的兴趣，又能提升学生的学习能力。以本课为例，基础扫描选用中等题，一方面让学生梳理知识点，同时在互助组交流时让各级学生都能分享解题经验，互帮互助，共同提高；分层训练分级设置，相同题号下的题目都复习的是同一类问题，但高一级题组下的题目又包含了低一级题目的知识点，比如A级题组的第1题复习的是增长率问题，B级题组的第1题则是在增长率问题基础上融入了对“第一季度”的理解，C级题组的第1题增加了增长率数值计算这一知识点，这样设置就是充分考虑到学生的认知水平，让分层才能够更有效。课堂练习结合分级目标精心选题，以达到训练和补漏的目的。此外，本节课另外还预设了一道备用题，供学有余力的同学使用，意在保证这部分学生能“吃得饱”。
（三）选题帮助学生建构认知网络
遵循“以生为本”的原则，在分级设置目标的前提下，精挑细选具有较强代表性的题目，加之教师的准确引导，有利于帮助学生建构认知网络。在本节课中，基础训练题组的编排就是参照本章知识框架图（如图1），通过相关题目的训练，使得学生对本章所有基本知识点进行了充分回顾：
活动一第1、2题复习的是“一元二次方程的概念”，第2、5、6题复习的是“一元二次方程的解法”；第3题复习的是“根的判别式”，第4题复习的是“根与系数的关系”；活动二分层复习“一元二次方程的应用”，各级第1题复习的是增长率问题，第2题复习的是利润问题，第3题复习的是几何图形问题，将本章的核心知识进行巩固；活动三以课堂训练为载体，将本章所有知识点再一次回顾，实现对本课学习状况的一个“摸底反馈”，将学生在“一元二次方程”单元中所学的知识、方法和数学思想充实到已有的认知网络中，推动“四基”的共生与建构。正是这样的循序渐进，步步深入，让学生在笔者挑选的题目训练系下，逐渐形成了本章的知识框架图，并将本章知识融入到整个的知识技能体系之中。
板书如下： 第21章 一元二次方程复习
定义
配方法

一元二次方程 解法 公式法 △＝b2 －4ac

因式分解法

增长率：a(1±x) 2 ＝b

应用 利润： 单件利润×数量＝总利润
转化
几何图形：线段长 方程
（四）课堂以学生为主体
小组合作交流应是课堂教学的中心，学生是学习的主体，他们的认识水平、思维能力、语言表达等各方面都比较接近，在合作中，他们地位平等，在讨论、交流、启发、帮助、协作中，各抒己见，为不同层次的学生提供了有利的学习条件。以本节课为例，活动一在互助型小组内交流，让学困生在优生的帮助指导下达到求知的目的，优生也在帮助别人的过程中锻炼了自己的语言表达能力和各方面的能力，获得成功体验和助人的喜悦，中等生则在他们的启发下跳一跳摘到了“桃子”。活动二在探究型小组内交流，有利于培养学生求异思维和探究能力，从而创造性地解决问题，同级学生会产生思维碰撞，会讨论出题目的不同解法，如C级题第3题第（2）问，除了可以用根的判别式外，学生还得出进行配方后出现完全平方为负数的情况，利用完全平方的非负性解决问题。
五．写在最后
任何一节高效的数学课都离不开好题和学生充分的合作交流，一道好题，是有效合作交流的源泉，能将学生所学知识很好地归入到已有的认知网络中去，形成基本的数学技能。因此，我们一方面要做好课前的选题工作，另一方面在课堂上要充分调动孩子们积极讨论的热情。分层选题用题，合理地选择编排题目，一方面，解决学生“吃不了”和“吃不饱”的问题，保证了每一名学生在自己能达到的水平上有所获；同时，通过适当的解题训练和充分的交流，加上老师恰当的归纳提升来拓展学生的思维空间，培养学生学习数学的自信心，激发学生学习数学的上进心，让课堂焕发出生机勃勃的活力！

参考文献：
[1] 印冬建．复式分组教学的核心：变换与合作——以一节试卷讲评课为例[J]．教育研究与评论．2012（8）：46－51．
[2] 张小军．分层交流，层层推进，共同提高——数学新授课中“复式分组”教学初探[J]．数学大世界．2012（12）：26．
[3] 中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．
[4] 印冬建．分层设例：有益，高效[J]．中学数学．2012（9）：11－13．
[5] 孙学东，成月芳．初中数学合作学习“四辩”[J]．中学数学教学参考（中旬）．2012（6）：8－10．
8