一轮复习：易失分点清零(八)不等式.doc

易失分点清零(八)　不等式

1.已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由a>b且c>d不能推知a－c>b－d，如取a＝c＝2，b＝d＝1；反过来，由a－c>b－d与c>d可得a－c＋c>b－d＋c>b－c＋c，即有a>b.综上所述，选B.
答案　B
2．设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是 (　　)．
A．a2<b2 B．ab2<a2b
C.< D.<
解析　若a<b，可取特殊值验证A，B，D均不正确，∵－＝<0，∴<，故应选C.
答案　C
3．设函数f(x)＝若f(a)<a，则实数a的取值范围为 (　　)．
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(3，＋∞) D．(0,1)
解析　不等式f(a)<a等价于或解得a≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞)．
答案　A

4．对x∈R，下列不等式恒成立的是 (　　)．
A．lg(x2＋1)≥lg 2x B．x2＋1>2x
C.<1 D．x2＋4≥4x
解析　选项A中当x<0时无意义，选项B中当x＝1时不成立，选项C中当x＝0时不成立．选项D成立．
答案　D
5．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则 (　　)．
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．P<Q
解析　P－Q＝－＝＝.因为a>b>c>0，所以P－Q<0，即P<Q.
答案　D
6．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是 (　　)．
A．2 B．2 C．4 D．5
解析　依题意得＋＋2≥2 ＋2≥4 ＝4，当且仅当＝，即a＝b时，取等号，故应选C.
答案　C
7．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)．
A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M
C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M
解析　不等式(1＋k2)x≤k4＋4可变形为x≤.即得M＝.∵＝(k2＋1)＋－2≥2－2>2，∴2∈M，0∈M，故应选A.
答案　A

8．设a>b>0，则a2＋＋的最小值为 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　a2＋＋＝a2－ab＋＋ab＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.等号成立，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝，所以式子的最小值为4.
答案　D
9．(2013·衡阳六校联考)已知实数x，y满足则x2＋y2的最小值是 (　　)．
A．2 B．5 C. D.
解析　根据题意作出的不等式组表示的平面区域如图所示，注意到x2＋y2＝[]2，故x2＋y2可视为该平面区域内的点(x，y)与原点的距离的平方．结合图形可知，该平面区域内的所有点与原点的距离的最小值等于原点到直线2x＋y－2＝0的距离，即为＝.因此，x2＋y2的最小值是2＝，选D.
答案　D
10．设x>0，则函数y＝x＋－1的最小值为________．
解析　y＝x＋－1＝＋－≥2 －＝，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为.
答案　
11．不等式|2x－1|－x<1的解集是________．
解析　|2x－1|－x<1⇒|2x－1|<x＋1⇒－x－1<2x－1<x＋1⇒0<x<2.
答案　{x|0<x<2}
12．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝·的最小值为________．
解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0<t＝xy≤2＝.由f(t)＝t＋在上单调递减，故当t＝时f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值.
答案　
13．设实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是________．
解析　作出满足x≥1，y≥1，x＋y≤6，x－y＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(1,2)、C、D(5,1)，将目标函数变形为z＝＝＝，而k＝表示可行域中的点(x，y)与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D、B与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k＝∈，再由函数的性质易得z∈.
答案　
14．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇔(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇔x≤－1；
(2)当a＞0时，
原不等式化为(x＋1)≥0⇔x≥或x≤－1；
(3)当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
①当＞－1，即a＜－2时，原不等式等价于－1≤x≤；
②当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当＜－1，即－2＜a＜0时，原不等式等价于≤x≤－1.
综上所述：当a＜－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
15．已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，>0.
(1)证明：函数f(x)在[－1,1]上是增函数；
(2)解不等式f<f；
(3)若不等式f(x)≤4t－3·2t＋3对所有x∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
(1)证明　设任意x1，x2∈[－1,1]，且x1<x2，
则由函数y＝f(x)为奇函数，知
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
因为>0，x1－x2<0，
所以f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)在[－1,1]上是增函数．
(2)解　因为f<f，
所以解得.
(3)解　由(1)，知f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，所以当x∈[－1,1]时，f(x)≤1.
因为不等式f(x)≤4t－3·2t＋3对所有x∈[－1,1]恒成立，
所以4t－3·2t＋3≥1恒成立．
所以(2t)2－3·2t＋2≥0，即2t≥2或2t≤1.
所以t≥1或t≤0.