第二章平面向量.doc

第二章 平面向量 §2．1.1平面向量的概念及几何表示
1、平面向量是_________________________的量,向量__________比较大小.
数量是_________________________的量,数量_____________比较大小.
2、向量的几何表示
(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的点表示不同的数量.
(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的_______,箭头的指向表示向量的________.
(3)有象线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面.
有向线段的长度,记作___________________.
有向线段包含三个要素________________________________________________
知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定.
(4)向量可以用有向线段表示.也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_____________
3、向量的模的向量
向量的大小,也就是向量的长度,称_____________,记作__________.
4、零向量是_____________的向量,记作____________.零向量的方向任意.
5、单位向量是____________的向量.
6、平行向量：_________________________叫做平行向量,向量与平行,通常记作______________
我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量,都有_________________________.
§2.1.2 相等向量与共线向量
1 相等向量是_________________________向量与相等，记作_______________。任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的___________无关。因为有向线段完全是由______________确定。 相反向量是_____________________。若与是一对相反向量，则______________________
2 共线向量
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此_________________叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反。若与共线，即与平行，记作
§2．2.1向量的加法及其几何意义
1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量__________叫做与的和，记作_____________，即=_______=__________这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
3、对于零向量与任一向量，我们规定+=___________=_______.
4、我们知道，数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a,b，有a+b=b+a ，(a+b)+c=a+(b+c)那么对于任意向量，向量加法的交换律是：______________________，结合律____________________________。
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与__________________________的向量，叫做的相反向量，记作_____________，向量与互为相反向量，于是___________________________。
任一向量与其相反向量的和是___________，即
2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
3、向量减法的几何意义：已知，，在平面内任取一点O，作，则__________=，即可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量，如果向量的终点，到的终点作向量那么得向量是__________________
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：
（1）=___________________________________;
（2）当________________时，的方向与的方向相同；当____________时，的方向与方向相反，当_____________时，=。
2、向量数乘和运算律，设为实数。
（1）_____________________________________________；
（2）__________________________________________；
（3）__________________________________________；
3、向量的线性运算：向量的加法、向量的减法、向量的数乘。
对于任意向量,，任意实数恒有=_________________________。
4、两个向量共线（平行）的等价条件，如果共线，那么_________________。
§2．3.1 平面向量的基本定理
1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。
2.不共线向量的夹角：显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量，作，则 叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是 。当 时，表示与同向；当 时，表示与反向。
3.垂直向量：如果 ，就称与垂直，记作 。
§2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
2、向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
3、几个特殊向量的坐标表示：
4、以原点O为起点作向量，设，则向量，的坐标_____________，就是___________；反过来，终点A的坐标___________也就是__________________。
§2．3.3 平面向量的坐标运算
1、两个向量和差的坐标运算
已知：，为一实数
则=____________；=_____________这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于_______________。
2、数乘向量和坐示运算：=____________________________
这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_______________________________________。
3、向量的坐标表示：若已知,，则=_____________=___________________即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。
§2．3.4 平面向量共线的坐标表示
1、两向量平行（共线）的条件：若，则存在唯一实数使。
2、两向量平行（共线）的坐标表示：设，其中则等价于________________。
§2．4平面向量的数量积
1._______________________________________叫做的夹角。
2.已知两个______向量，我们把______________叫的数量积。（或________）记作___________
即＝______________________其中是的夹角。______________________叫做向量方向上的___________。
3.零向量与任意向量的数量积为___________。
4.平面向量数量积的性质：设均为非空向量：
①___________
②当同向时，＝________　当反向时，＝________，特别地，＝__________或___________。
③___________
④______________
5. 的几何意义：________________________________________。
6. 向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。
①＝___________（______律） ②＝___________ ③＝___________
7. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量　　　　　（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于　　　　　　　　　　。
8. 平面内两点间的距离公式
（１）设则________________或________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为_____________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）
9. 向量垂直的判定：设则 _________________
10. 两向量夹角的余弦（0≤≤）
　＝__________________________________＝_____________________________

第二章 平面向量单元测试题
一、 选择：
1、下列命题正确的个数是 （ ）
①； ②； ③； ④
A、1 B、2 C、3 D、4
2、若向量,,,则等于 （ ）
　A、 B、 C、 D、
3、已知,且∥,则 （ ）
A、－3 B、 C、0 D、
4、下列命题中： ①若,则或; ②若不平行的两个非零向量,满足,则; ③若与平行,则 ； ④若∥,∥,则∥;其中真命题的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
5、已知，，，则与的夹角是 （ ）
A、150 B、120 C、60 D、30
6、若,则实数x= （ ）
A、23 B、 C、 D、
7、在ΔABC中,若,则 （ ）
A、6 B、4 C、-6 D、-4
二、填空：
8、已知
9、已知，则　　　　　　　
10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线,则x＝　
11、已知向量与的夹角是钝角,则k的取值范围是
三、解答：
12、已知A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），试证明四边形ABCD是梯形。
13、在直角△ABC中，＝（2,3），＝（1，k），求实数k的值。
14、已知、是夹角为60°的两个单位向量，，
(1)求; (2)求与的夹角.
15、已知向量，， ，
(1)求证：⊥； (2)，求的值。
第三章练习题
组一：1、 ; 。
2、
4、已知，那么
5、

6、在则是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、不确定
7、

8、中，sinA=cosB=,求cosC 的值。

9、

10、设 ）
A、 B、 C、 D、－

组二： (A) (B) (C) (D)

(A) (B) (C) (D)

8、已知为第二象限角，

9、函数的最小正周期是___________________.
10、=________________.

组三：1．sin22°30’cos22°30’=__________________；2．_________________；
3．____________________；4．__________________；
5．__________________；6．____________________；
7．___________________；8．______________________.
9、已知180°＜2α＜270°，化简=（ ）
A、-3cosα B、cosα C、-cosα D、sinα-cosα
10、已知，化简+= （ ）
A、-2cos B、2cos C、-2sin D、2sin
11、已知sin=，cos=－，则角是 （ ）
A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

12、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值。

13、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。

14、已知求的值。

15、已知，，求的值。

16、已知

17、如图，ABCD是半圆O的内接等腰梯形，其中AB为半圆直径，AB＝2，设∠COB＝α，梯形的周长为l，求l的最大值.

组四：1、 ；
2、已知a、都是锐角，且 则a＋＝ 。
3、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值

4、已知为锐角， 求a+2的值。

5、等于（　　）
6、如果是方程两根，则　　　 。
7、化简　　　　　　　　 13．求证：

8、某物受到恒力，产生位移为，则恒力物体所做的功是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A、向右平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向左平移个单位
8、函数的图像的一条对称轴方程是 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、函数图像的对称中心是（写出通式）
10、关于函数，下列命题：
①、若存在，有时，成立；②、在区间上是单调递增；
③、函数的图像关于点成中心对称图像；④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
11、已知，，令函数，且的最小正周期为．
（1）求的值； （2）求的单调区间．

12、已知，试求式子的值．

20、已知，．
（1）若，求的单调的递减区间； （2）若，求的值．