资源描述
第八课时
教学要求:能利用两个三角形全等的有关知识,证明相关的边角相等
教学过程:
1.判定两个三角形全等的条件:
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
(2)两个和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
2.三角形的稳定性:由于一个三角形的三边的长度确定了,那么这个三角形的形状和大小都确定了,故三角形具有稳定性,这是三角形所特有的性质.
3.例题讲析:
[例1] 已知如图, AB=AD, BC=CD, AC与BD相交于E, 由这些条件你能推出哪些结论?(不再添加辅助线, 不再标注其它字母, 不写推理过程, 只要求写出四个你认为正确的结论).
D
A
C
B
E
[思维点拨] 由于AB=AD, BC=CD,AC公共, 不难发现△ABC≌△ADC, 由此可得出一些线段相等, 角相等, 三角形全等等结论.
解:可从以下结论中选四个:
①DE=EB;②AC⊥BD;
③∠ADB=∠ABD;④∠CDB=∠CBD;⑤△ABC≌△ADC;
⑥△ADE≌△ABE;⑦△CDE≌△CBE;⑧AE平分∠DAB;
⑨CE平分∠DCB等.
[点悟] ①解题关键点是:根据已知条件逐步推理.
②解题易错点是:由于本题的结论较多, 容易出现乱猜结论的现象, 如认为BD平分
∠ABC等.
[例2] 让我们一起来进行一个折纸游戏吧!如图所示,取一张长方形的纸片ABCD,将其折叠,使D点与B点重合,EF为折痕,观察图形,图中有全等的三角形吗?如果有,请给出证明;若没有,请说明理由.
A
B
C
D
E
F
G
[思维点拨] 图中有三个三角形△ABE,△BEF,△BFG,观察图形可以发现只有△ABE和△GBF可能全等,因为∠A=∠G=90°,由于纸片是长方形,所以AB=CD=GB,∠A=∠G=90°,由于AE∥BF且BE∥GF,可证∠AEB=∠GFB,故利用AAS定理可以证明这对三角形全等.
证明:∵四边形ABCD是长方形,
∴AB=CD=BG,∠A=∠D=∠G=90°.
又∵AE∥BF,BE∥FG ,
∴∠AEB=∠FBE,∠FBE=∠GFB,∴∠AEB=∠GFB.
在△ABE与△GBF中,∴△ABE≌△GNF(AAS).
[点悟] 在解决折叠问题时,要注意抓住折叠前后的不变量,包括边与边的关系,角与角之间的关系等,例如,在本例中,就要注意折叠前后CD被折到了BG处;∠C与∠G重合;∠D=∠EBC;BE与DE相等;CF与GF对应等.
[例3] 有一块矩形的土地ABCD,分别被甲、乙两人承包,一条公路GEFH穿过这块地,为发展经济,决定将这条公路尽量修直,为不影响甲、乙两家土地面积,请你设计一种方案,解决这个问题,相信你能行!
G
A
B
C
D
E
F
H
甲
乙
Q
P
M
N
[思维点拨] 将公路修直并不困难,困难的是保持甲、乙
两家土地面积不变,这里,我们可充分利用矩形的AD∥BC
这一条件构造全等三角形.
解:取EF的中点M,连结GM并延长交FH于点N,
GN就是修直后的道路.
如图所示:设GN交AD,BC于点P,Q.
∵EM=FM,∠PEM=∠QFM,∠EMP=∠FMQ,
∴△PEM≌△QFM(ASA),故能保持甲、乙两家土地面积不变.
[点悟] 利用全等三角形的知识能够解决很多实际问题,这也是中考的热点.
第九课时
教学内容:小测验
教学过程:
1. 如图, ∠ACB=∠DFE, BC=EF, 那么需要补充一个直接
条件_________(写一个即可), 才能使△ABC≌△DEF.
2. 满足下列哪种条件时, 就能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠F
C.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
3. 下列各组三角形中, 一定是全等三角形的是( )
A.各有一个角是55°的两个等腰三角形 B.两个等边三角形
C.腰长相等的两个等腰直角三角形 D.各有一个角是500,腰长都为6㎝的两个等腰三角形
D
C
B
F
E
A
图7
4. 已知, 如图, AB=CD, AD=BC, 求证: AB∥CD.
A
B
C
D
A
B
C
F
E
D
A
B
C
D
E
F
G
图10
D
A
B
C
图9
O
A
B
C
G
图8
D
E
F
H
5. 已知, 如图7,△ABC中, AC=BC, AC⊥BC, 直线EF交AC于F, 交AB于E, 交BC的延长线于D, 且CF=CD. 连结AD、BF.则BF与AD有何关系?试证明你的结论.
6. 如图8所示,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,CG和FH分别是AB和DE边上的中线,再从以下条件①AB=DE,②AC=DF,③CG=FH中任选取两个为题设,另一个为结论,则最多可以构成____个正确的命题.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. △ABC为不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形可以作出( )个.
A.2个 B.4个 C.6个 C.8个
8. 已知如图9,AC交BD于点O,AB=DC,∠A=∠D.(1)请写出符合上述条件的五个结论(并且不再添加辅助线,对顶角除外);(2)从你写出的5个结论中,任选一个加以证明.
9.某公园有一块三角形的空地△ABC(如图10),为了美化公园,公园管理处计划栽种四种名贵花草,要求将空地△ABC划分成形状完全相同,面积相等的四块.”为了解决这一问题,管理员张师傅准备了一张三角形的纸片,描出各边的中点,然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上,结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合.你能说明这种设计的正确性吗?
参考答案提示
1. AC=DF(或∠B=∠E或∠A=∠D).(提示:利用全等三角形的判定,填一个即可)
2. D.(符合ASA公理,可判定它们全等)
3. C.(提示:腰长相等时,加上直角,这两个等腰三角形符合SAS公理)
4. 提示:连结AC,证明△ABC≌△CDA,得∠BAC=∠ACD.
5. BF=AD且BF⊥AD.(1)∵AC⊥BC(已知),∴∠ACB=∠ACD=900(垂直定义),在△BCF和△ACD中, ,∴△BCF≌△ACD(SAS),∴BF=AD(全等三角形的对应边相等).(2)延长BF交AD于G,∵△BCF≌△ACD(已证),∴∠CBF=∠DAF(全等三角形对应角相等).又∠BFC=∠AFG(对顶角相等),∴∠BCF=∠AGF(三角形内角和定理),又∠BCF=90°,∴∠AGF=90°,∴BF⊥AD.
6.A.本题可构成3个命题,由①②推出③;由①③推出②;由②③推出①;后两个命题仅满足SSA的条件,故是假命题,而第1个命题满足SAS的条件,是正确的命题,故答案为A
7.B.以D和B为对应顶点可以画出两个符合 条件的三角形,也可以D与C为对应顶点,也可以作出两个符合条件的三角形
8.(1)五个结论:OB=OC;OA=BD;∠ABO=∠DCO;∠ABC=∠DCB
(2)选证 OB=OC
在ABO和DCO中 ∵∠AOB=∠DOC(对顶角相等) ∠A=∠D(已知);AB=DC,∴ABO≌DCO(AAS) ∴OB=OC
9.这种设计是正确的.以证EF∥BC且EF=为例.延长FE至G,使EG=FE,连结CG,FC.易证得△AEF≌△CEG.∴AF=CG,∠AFE=∠G,∴AB∥CG.在△BFC与△GCF中,BF=AF=CG,∠BFC=∠GCF,CF=FC,∴△BFC≌△GCF,∴FG=BC,FG∥BC.即EF∥BC且EF=.故可知△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF.
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