人教版八上教案§132三角形全等的条件综合应用 (2).doc

第八课时
教学要求：能利用两个三角形全等的有关知识，证明相关的边角相等
教学过程：
1．判定两个三角形全等的条件：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
（2）两个和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
2．三角形的稳定性：由于一个三角形的三边的长度确定了，那么这个三角形的形状和大小都确定了，故三角形具有稳定性，这是三角形所特有的性质．
3．例题讲析：
[例1] 已知如图, AB=AD, BC=CD, AC与BD相交于E, 由这些条件你能推出哪些结论?(不再添加辅助线, 不再标注其它字母, 不写推理过程, 只要求写出四个你认为正确的结论)．
D
A
C
B
E

[思维点拨] 由于AB=AD, BC=CD,AC公共， 不难发现△ABC≌△ADC, 由此可得出一些线段相等, 角相等, 三角形全等等结论．
解：可从以下结论中选四个：
①DE=EB；②AC⊥BD；
③∠ADB=∠ABD；④∠CDB=∠CBD；⑤△ABC≌△ADC；
⑥△ADE≌△ABE；⑦△CDE≌△CBE；⑧AE平分∠DAB；
⑨CE平分∠DCB等．
[点悟] ①解题关键点是：根据已知条件逐步推理．
②解题易错点是：由于本题的结论较多, 容易出现乱猜结论的现象, 如认为BD平分
∠ABC等．
[例2] 让我们一起来进行一个折纸游戏吧！如图所示，取一张长方形的纸片ABCD，将其折叠，使D点与B点重合，EF为折痕，观察图形，图中有全等的三角形吗？如果有，请给出证明；若没有，请说明理由．
A
B
C
D
E
F
G

[思维点拨] 图中有三个三角形△ABE，△BEF，△BFG，观察图形可以发现只有△ABE和△GBF可能全等，因为∠A＝∠G＝90°，由于纸片是长方形，所以AB＝CD＝GB，∠A＝∠G＝90°，由于AE∥BF且BE∥GF，可证∠AEB＝∠GFB，故利用AAS定理可以证明这对三角形全等．
证明∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝BG，∠A＝∠D＝∠G＝90°．
又∵AE∥BF，BE∥FG　，
∴∠AEB＝∠FBE，∠FBE＝∠GFB，∴∠AEB＝∠GFB．
在△ABE与△GBF中，∴△ABE≌△GNF（AAS）．
[点悟] 在解决折叠问题时，要注意抓住折叠前后的不变量，包括边与边的关系，角与角之间的关系等，例如，在本例中，就要注意折叠前后CD被折到了BG处；∠C与∠G重合；∠D＝∠EBC；BE与DE相等；CF与GF对应等．
[例3] 有一块矩形的土地ABCD，分别被甲、乙两人承包，一条公路GEFH穿过这块地，为发展经济，决定将这条公路尽量修直，为不影响甲、乙两家土地面积，请你设计一种方案，解决这个问题，相信你能行！
G
A
B
C
D
E
F
H
甲
乙
Q
P
M
N

[思维点拨] 将公路修直并不困难，困难的是保持甲、乙
两家土地面积不变，这里，我们可充分利用矩形的AD∥BC
这一条件构造全等三角形．
解：取EF的中点M，连结GM并延长交FH于点N，
GN就是修直后的道路．
如图所示：设GN交AD，BC于点P，Q．
∵EM＝FM，∠PEM＝∠QFM，∠EMP＝∠FMQ，
∴△PEM≌△QFM（ASA），故能保持甲、乙两家土地面积不变．
[点悟] 利用全等三角形的知识能够解决很多实际问题，这也是中考的热点．
第九课时
教学内容：小测验
教学过程：
1． 如图, ∠ACB=∠DFE, BC=EF, 那么需要补充一个直接
条件_________(写一个即可), 才能使△ABC≌△DEF．
2． 满足下列哪种条件时, 就能判定△ABC与△DEF全等的是( )
A．∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D B．AB=DE,BC=EF,∠C=∠F
C．AB=DE,BC=EF,∠A=∠E D．∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
3． 下列各组三角形中, 一定是全等三角形的是( )
A.各有一个角是55°的两个等腰三角形 B.两个等边三角形
C.腰长相等的两个等腰直角三角形 D.各有一个角是500,腰长都为6㎝的两个等腰三角形
D
C
B
F
E
A
图7
4. 已知, 如图, AB=CD, AD=BC, 求证: AB∥CD.
A
B
C
D

A
B
C
F
E
D

A
B
C
D
E
F
G
图10
D
A
B
C
图9
O
A
B
C
G
图8
D
E
F
H
5． 已知, 如图7，△ABC中, AC=BC, AC⊥BC, 直线EF交AC于F, 交AB于E, 交BC的延长线于D, 且CFCD. 连结AD、BF．则BF与AD有何关系？试证明你的结论.

6.　如图8所示，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，CG和FH分别是AB和DE边上的中线，再从以下条件①AB＝DE，②AC＝DF，③CG＝FH中任选取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成＿＿＿＿个正确的命题．
　　　A．1个　　　　B．2个　　　　　　　　C．3个　　　　　　D．4个
7． △ABC为不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形可以作出（　　　）个．
　　　A．2个　　　　　B．4个　　　　　　C．6个　　　　　　　C．8个
8. 已知如图9，AC交BD于点O，AB＝DC，∠A＝∠D．（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；（2）从你写出的5个结论中，任选一个加以证明．
9．某公园有一块三角形的空地△ABC(如图10)，为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？
参考答案提示
1． AC=DF(或∠B=∠E或∠A=∠D)．（提示：利用全等三角形的判定，填一个即可）
2． D．（符合ASA公理，可判定它们全等）
3． C．（提示：腰长相等时，加上直角，这两个等腰三角形符合SAS公理）
4． 提示：连结AC，证明△ABC≌△CDA，得∠BAC=∠ACD．
5． BF=AD且BF⊥AD．(1)∵AC⊥BC(已知)，∴∠ACB=∠ACD=900(垂直定义)，在△BCF和△ACD中， ，∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF=AD(全等三角形的对应边相等)．(2)延长BF交AD于G，∵△BCF≌△ACD(已证)，∴∠CBF=∠DAF(全等三角形对应角相等)．又∠BFC=∠AFG(对顶角相等)，∴∠BCF=∠AGF(三角形内角和定理)，又∠BCF=90°，∴∠AGF=90°，∴BF⊥AD．
6．A．本题可构成3个命题，由①②推出③；由①③推出②；由②③推出①；后两个命题仅满足SSA的条件，故是假命题，而第1个命题满足SAS的条件，是正确的命题，故答案为A
7．B．以D和B为对应顶点可以画出两个符合　条件的三角形，也可以D与C为对应顶点，也可以作出两个符合条件的三角形
8．（1）五个结论：OB＝OC；OA＝BD；∠ABO＝∠DCO；∠ABC＝∠DCB
　（2）选证　OB＝OC
　　　　在ABO和DCO中　∵∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）　∠A＝∠D（已知）；AB＝DC，∴ABO≌DCO（AAS）　∴OB＝OC
9．这种设计是正确的．以证EF∥BC且EF＝为例．延长FE至G，使EG＝FE，连结CG，FC．易证得△AEF≌△CEG．∴AF＝CG，∠AFE＝∠G，∴AB∥CG．在△BFC与△GCF中，BF＝AF＝CG，∠BFC＝∠GCF，CF＝FC，∴△BFC≌△GCF，∴FG＝BC，FG∥BC．即EF∥BC且EF＝．故可知△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF．