第五讲不等式及其应用.doc

大江中学2013届高三数学二轮复习
第五讲　不等式及其应用
主备人：梁永春 审核人：陆海荣
【考点解读】
1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法．
2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题．
第一课时
【基础训练】
1. 已知集合A＝，集合B＝{x|y＝lg(x2＋x－2)}，则A∩B＝________.
2.设0<a<b，a＋b＝1，则，b,2ab，a2＋b2中的最大的是________．

3.点P(x，y)是直线x＋3y－2＝0上的动点，则代数式3x＋27y有最小值是________．
4.已知关于x的函数y=（f∈ R）的 定义域为D，存在区间[a，b]D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b－a的最大值= ．
5.函数f(x)的定义域为R，，对任意x∈R，，则的解集为 ．
【例题选讲】
【例1】　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1) 已知f(1)＝－，
①若f(x)<1的解集为(0,3)，求f(x)的表达式；
②若a>0，求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．
(2) 已知a＝1，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且x1，x2∈(m，m＋1)，其中m∈R，求f(m)f(m＋1)的最大值．

【突破训练1】已知，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
【例2】　若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有2个，求实数a的取值范围．

【突破训练2】（连云港市2013届高三期末）关于x的不等式x2-ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 .

【例3】　（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.
(1) 求的长度；

例题3题图
(2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？

【当堂反馈】
1. (2011·湖南)设x，y∈R且xy≠0，则的最小值为________．
2. 3.(2010·江苏)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
第二课时
1、(2011·福建)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．

2、若不等式x2－ax＋1≥0对于一切x∈(0,2]成立，求a的取值范围．
(1)若题中区间改为x∈[－2,2]，求a的取值范围；
(2)若题中区间改为a∈[－2,2]，求x的取值范围．

【突破训练3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

3、设函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2.
(1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x2)＞.

例题4已知函数.
(1) 若=2,求在上的最小值；
(2) 若时，，求的取值范围；

例题5对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.

不等式及其应用练习1
1、（常州市2013届高三期末）已知实数同时满足，，，则的取值范围是 ．

2、对一切的正整数n，不等式恒成立，则实数X的取值范围为 ．

3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设满足约束条件, 则目标函数的最大值为 .

4、（南通市2013届高三期末）已知，若，且，则的最大值为 ．
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 .

6、（苏州市2013届高三期末）已知，则的解集是 ．
7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若-4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7．则t= ．
8、（镇江市2013届高三期末）已知x，y为正数，则的最大值为 ．
9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．
10、（苏州市2013届高三期末已知实数，满足不等式，则的取值范围是 ．

11、设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集为

12、（2012盐城二模）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客的眼睛到地面的距离(cm)在区间[140,180]内.设支架高为(0<<90)cm，=100cm,顾客可视的镜像范围为（如图所示），记的长度为().
(1) 当=40cm时，试求关于的函数关系式和的最大值；
(2) 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求的取值范围.

不等式及其应用练习2
1、已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a、b的值分别为 ．

2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数图像的切线，则切线斜率为 ．

3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为

4、（扬州市2013届高三期末）已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ．

5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为．
（1）求关于的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值．

6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；
(2)若该单位决定采用函数模型y＝x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2»0.69，ln10»2.3)

7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间上的函数, 若任给, 均有, 则称函数在区间上封闭.
（1）试判断在区间上是否封闭, 并说明理由；
（2）若函数在区间上封闭, 求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上封闭, 求的值.

⑴作，垂足为，则，，设，则…………………2分
，化简得，解之得，或（舍）
答：的长度为．………………………………………………………………6分
⑵设，则，
．………………………8分
设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当　　　　　　时，，是增函数，
所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分
因为恒成立，所以，所以，，
因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．
答：当为时，取得最小值． ……………………………14分