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常见圆中多解题的几种情况
O．
O
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　　　　　　B
C　　　　　　　　D
E
F
图1
图2
F
E
在与圆有关的问题中，常常出现多解情况，本文通过举例简要地分析这些题目之所以出现多解的原因及其解答的对策．
1．由圆心与弦的位置关系引发多解
例1．已知中，弦，且，，半径为．求之间的距离．
分析：在半径为的圆中，平行弦的位置关系有如图1和图2两种情形：
当位于圆心的两侧时，之间的距离为；
当位于圆心的同侧时，之间的距离为．
A　　　　　　　B
C
A　　　　　　 B

C
图3
图4

2．由一弦对两弧引发多解
例2．已知被弦所分两条弧长之比为，则这条弦所对的圆周角的度数是　　　　．
分析：弦所对的弧有优弧和劣弧两种，因此，所对的圆周角有如图3和图4两种：
当点在优弧上时，，当点在劣弧上时，．
3．由两圆相切的双重意义引发多解
例3．已知两圆的半径分别为2cm和5cm，当两圆相切时，圆心距是　　　．
O１
O２
A
B
图5
O
O１
A
B
O２
O
图6
分析：两圆相切包括内切和外切，由于外切情形相对比较常见，所以，常错误地把相切认为就是外切．
当两圆外切时，圆心距为7cm；
当两圆内切时，圆心距为3cm．
4．由公共弦和圆心的位置引发多解
例4．相交两圆的半径分别为8和5，公共弦长为8，这两个圆的圆心距是　　　．
分析：公共弦长为8的两圆的圆心与公共弦的位置关系有如图5和图6两种：
当圆心在公共弦两侧时，圆心距为；
当圆心在公共弦同侧时，圆心距为．
A
B
D
C
O
A　　　　　　　B
　　　　图８
C
D
O
图7
图8
5．由圆周角和圆心的位置引发多解
例5．圆的直径，过点有两条弦，，求所夹的圆内部分的面积．
分析：过点的弦与圆心的位置有如图7和图8两种：
连接，则易知是等腰直角三角形，，在中，，从而．
故的面积，的面积，扇形的面积，扇形的面积．
当圆心在内部时，所求图形面积为上述四部分图形的面积之和，即为；
当圆心在外部时，所求图形面积为．
6．由外心与三角形位置关系引发的多解
例6．已知是的外接圆，于，且，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
A
B　　　D　　　C
A
B　　D　　C
　　　图9
O
O
图10
分析：当圆心分别在内部和外部时，如图9，10所示，可分别解得，故选Ｃ．