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九年级上册第五单元 反比例函数教案
第一课时 反比例函数

教学目标：
（一） 知识与能力
1. 经历抽象反比例函数概念的过程，让学生建立初步的符号感。
2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
(二) 过程与方法
从现实情境和已有知识经验出发，经历抽象反比例函数的过程，让学生建立初步的符号感，发展学生的抽象思维能力。
(三) 情感与价值观要求
培养合作交流的重要性，提高合作意识。
教学重点：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解它的概念.
教学难点：领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
教学方法：教师引导学生进行归纳.
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为其中，为常数且，正比例函数的表达式为，其中为不为零的常数,但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，这就是本节课我们要揭开的奥秘。
Ⅱ.新课讲解
[师]引我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数?
1.复习函数的定义
[师]大家还记得函数的定义吗?
[生]记得.
在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数.
　　[师]大家能举出实例吗?
　　[生]可以.
例如购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y＝0.4n，这是一个正比例函数.
等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是x的一次函数.
[师]很好，我们复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式.
[师]请看下面的问题.
电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω20 40 60 80 100 I/A　　当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
请大家交流后回答.
[生](1)能用含有R的代数式表示I.
由IR=220，得I=.
(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.
从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大.
(3)变量I是R的函数.
由IR＝220得I＝.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数.
[师]这位同学回答，的非常精彩，下面大家再思考一个问题.
舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的?请大家互相交流后回答.
[生]根据I＝，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变大，灯光较亮.
所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼.
例题：
京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km／h)之间有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
[师]经过刚才的例题讲解，大家可以独立完成此题.如有困难再进行交流.
[生]由路程等于速度乘以时间可知1262＝vt，则有t＝.当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数.
[师]从上面的两个例题得出关系式
I=和t=.
它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?
[生]因为给定一个R的值，相应地就确定了一个I的值，所以I是R的函数；同理可知t是v的函数.但是从表达式来看，它们既不是正比例函数，也不是一次函数.
[师]我们知道正比例函数的关系式为y=kx(k≠0)，一次函数的关系式为y＝kx+b(k，b为常数且k≠0).大家能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢?
[生]可以.由I＝与t=可知关系式为y= (k为常数且k≠0).
[师]很好.
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
从y＝中可知x作为分母，所以x不能为零.
3.做一做
投影片(§ 5.1 B)
1.一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷／人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
3. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x-2-1-1 3 y 2-1　　(1)写出这个反比例函数的表达式；
　　(2)根据函数表达式完成上表.
[生]由面积等于长乘以宽可得xy＝20.则有y＝.变量y是变量x的函数.因为给定一个x的值，相应地就确定了一个y的值，根据函数的定义可知变量y是变量x的函数.再根据反比例函数的表达式可知y是x的反比例函数.
[生]根据人均占有耕地面积等于总耕地面积除以总人数得m=.给定一个n的值，就相应地确定了一个m的值，因此m是n的函数，又m＝符合反比例函数的形式，所以是反比例函数.
[师]在做第3题之前，我们先回忆一下如何求正比例函数和一次函数的表达式，在y=kx中.要确定关系式的关键是求得非零常数k的值，因此需要一个条件即可；在一次函数y＝kx+b中，要确定关系式实际上是要求得b和k的值，有两个待定系数因此需要两个条件.同理，在求反比例函数的表达式时，实际上是要确定k的值.因此只需要-个条件即可，也就是要有一组x与y的值确定k的值.所以要从表格中进行观察.由x＝-1，y＝2确定k的值,然后再根据求出的表达式分别计算.x或y的值.
[生]没反比例函数的表达式为y=
(1)当x＝-1时,y＝2；
∴k＝-2.
∴表达式为y＝-
(2)当x＝-2时，y＝1.
当x=-时，y＝4；
当x=时.y=-4；
当x＝1时,y=-2.
当x＝3时，y＝-；
当y＝时，x=-3；
当y＝-1时,x=2.
因此表格中从左到右应填
-3，1，4，-4,-2，2，-
Ⅲ.课堂练习
教材随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y＝ (k为常数.k≠0)，自变量x不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数.
Ⅴ.课后作业
习题5.1
Ⅵ.活动与探究
已知y-1与成反比例，且当x＝1时，y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数?
分析：由y与x成反比例可知y＝，得y-1与成反比例的关系式为y-1＝
=k(x+2)，由x＝1、y=4确定k的值.
从而求出表达式.
解：由题意可知y-1=k=k(x+2).
当x＝1时.y＝4.
所以3k=4-1，
k=1.
即表达式为y-1＝x+2，
y=x+3.
由上可知y是x的一次函数.
课后反思：学生对反比例函数的定义，表达式，成立条件，掌握较好。

第二课时 反比例函数的图象与性质

教学目标
（一）知识与能力
1.进一熟步悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.
3.逐步提高从函数图象小获取信息的(一)知能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
4正确理解反比例函数的图支曲线组成，并且所在的象限与K值正负有关。
5通过观察反比例函数的图像，归纳出反比例函数的性质，注意分K>0和K<0两种情况讨论。
(二)过程与方法
1.引导学生回忆一次函数的图像，进而回顾函数的三种表示形式。
2引导学生回忆一次函数作图的一般步骤，结合一次函数的作图思路，引导学生做出反比例函数y＝的图像。
3 组织学生讨论反比例函数在作图过程中应该注意的问题，作出归纳总结。
4 引导学生应用图像总结反比例函数的性质，对学生叙述不完善的地方予以补充和修正，从而获得完整而规范的结论。
(三)情感与价值观要求
1.通过对函数概念的学习，使学生明确数学与实际之间的联系，培养学生用数学的眼光观察世界，增加学生学习数学的兴趣。
2.引导学生养成自主学习的习惯，通过学生分组讨论，养成观察问题系统归纳的习惯，让学生体会集体学习的乐趣和效果，增加学生学习数学的积极性。
教学重点：
1. 函数作图的一般步骤。
2. 反比例函数的图像。
3. 反比例函数的性质。
教学难点：
1. 反比例函数的图像作法。
2. 反比例函数的性质。
教学方法：探索引导法
教具准备:
1.多媒体课件
2 准备作图工具：直尺，三角板。
3.反比例函数的图像。
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学习了正比例函数和一次函数的图象，知道它们的图象都是一条直线，正比例函数的图象是过原点的一条直线，在画图象时需找(1，k)点即可，一次函数的图象也是一条直线，是不过原点的一条直线.画图象时只需找(0，b)和(-,0),过这两点作直线即可.那么反比例y＝ (k≠0)的图象是直线呢?还是曲线，这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，从而引入新课。.
Ⅱ.新课讲解
1.画反比例函数y＝的图象
[师]大家还记得画图象的一般步骤吗?
[生]记得：.是列表，描点，连线.
[师]下面大家试着作反比例函数y＝的图象，教师强调自变量X不能取0，以及自变量的取值可以对称来取，描点时应尽量多取一些值，以方便连线。
[生甲]列表：
x
-8
-4
-3
-2
-1
-

1
2
3
4
8
y=
-
-1
-
-2
-4
-8
8
4
2

1

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=的
图象(如图1).
图1 图2 图3

[生乙]我作出的图象和他不一样，是这样的（如图2）
[生丙]我作出的图象和他们都不一样.(如图3)
[师]现在出现三种不同类型的图象，请大家认真思考后选
出正确的图象是哪一个?
[生]第一种正确.第二种也正确，只不过取的点较少，又
没有对称地取数，所以画出的图象好象不正确.第三种是
错误的，因为应用光滑的曲线连接，而不是用折线连接.
[师]很好.可见大家是动脑子思考过的，这种精神值
得表扬.全班同学给以掌声。
2.议一议
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?与同伴进行交流.
[生]其实刚才两位同学所画的图象已给出我们答案了，在列表时，自变量的值可以任意选，但如果选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；列表、描点时，要尽量多取一些数值.多描一些点，这样方便连线；在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.
3.做一做
请大家用同样的方法作反比例函数y＝的图象.
(让学生自己作图，然后出示正确的图象让学生参考)
[生]列表
x
-8
-4
-3
-2
-1
-

1
2
3
4
8
y=

1

2
4
8
-8
-4
-2
-
1
-
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数y＝的图象，如下图.

[师]很好，大家基本上已经掌握了画反比例函数的步骤，以及反比例函数的图象的大致形状.
4.想一想
观察y＝和y＝的图象，它们有什么相同点和不同点?
[师]上面是函数y＝和y＝的图象，请大家对比着探索他们的异同点.
[生]相同点：
(1)图象都是由两支曲线组成；
(2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点；都是中心对称图形，也是轴对称图形。
不同点：
它们所在的象限不同.y＝的两支曲线在第一和第三象限；y＝的两支曲线在第二和第四象限.
[师]很好，完全正确.
[师]由此看来，反比例函数的图象是两支双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在一、三象限，什么时候在二、四象限，大家能肯定吗?
[生]可以，当k>0时，图象的两支曲线在第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限.
[师]大家的观察能力和分析能力很了不起哟，继续努力.对学生的归纳进行总结。
Ⅲ.课堂练习
1．已知反比例函数当函数图象位于第一、三象限时
字母k的取值范围？
2．函数y＝－ax＋a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
Ⅳ.课时小结
一、本节课我们学习了画反比例函数的步骤为：列表、描点、连线.进一步巩固了画函数图象的步骤，同时在画反比例函数图象时要注意以下几点：
1.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可以简化计算.又便于描点；
2.列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
3.在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线.
二、在画出函数y＝和y＝的图象后.比较它们的异同点.
相同点：
(1)图象都是由两支曲线组成：
(2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点；
(4)它们都是轴对称图形，也是中心对称图形.
不同点：它们所在的象限不同，当k>0时，图象的两支曲线分别在第一、三象限内；当k<0时，图象的两支曲线分别位于第二、四象限.
V.课后作业
1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是
2．反比例函数，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是 ；
当x＞－2时；y的取值范围是

第三课时 反比例函数的应用
教学目标：
(一)知识与能力
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力
(二)过程与方法
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.
(三)情感与价值观
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点：用反比例函数的知识解决实际问题.
教学难点：如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题.
教学方法：教师引导学生探索法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?
[生]是为了应用.
[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.
Ⅱ. 新课讲解
某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?
为什么?
(2)当木板画积为0.2 m2时.压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大?
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.
(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进
行交流.
[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个
变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去
分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是
则可用反比例函数的有关知识去解决问题.
请大家互相交流后回答.
[生](1)由p=得p=
p是S的反比例函数，因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数.
(2)当S=0.2 m2时， p==3000(Pa).
当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa.
(3)当p=6000 Pa时，
S==0.1(m2).
如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要0.1 m2.
(4)图象如下：
(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；
(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的
位置及它们横坐标的取值范围.
[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道
反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，
要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝>0，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?
[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在.
[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢?
[生]是，应为p＝ (S>0).
做一做
蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻
R(Ω)之间的函数关系如下图所示；
(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电
器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
R/Ω
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A

4

[师]从图形上来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.
[生]解：(1)由题意设函数表达式为I＝
∵A(9，4)在图象上，
∴U＝IR＝36.
∴表达式为I=.
蓄电池的电压是36伏.
(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6，，4.5，3.6.
电源不超过10 A，即I最大为10 A，代入关系式中得R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R≥3.6这个范围内.
2.如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(,2).
(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.
[师]要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的
坐标即求y＝k1x与y=的交点.
[生]解：(1)∵A(,2)既在y＝k1x图象上，又在y＝的图象上.
∴k1＝2，2＝.
∴k1=2, k2=6
∴表达式分别为y＝2x, y＝.
y=2x,
y＝.
得2x=,
∴x2=3
∴x=±.
当x=-时，y=-2.
∴B(-,-2).
Ⅲ.课堂练习
1.某蓄水池的排水管每时排水8 m3，6 h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
(3)写出t与Q之间的关系式；
(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少?
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空?
解：(1)8×6＝48(m3).
所以蓄水池的容积是48 m3.
(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.
(3)t与Q之间的关系式为 t=.
(4)如果准备在5 h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为=9.6(m3).
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少要＝4小时可将满池水全部排空.
Ⅳ.课时小结
节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题.
Ⅴ课后作业
习题5.4.
为了预防“非典”，
某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，
室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例
(如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中
每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范围为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

课后反思：今天学习了反比例函数的应用，压力与压强，受力面积的关系;电压，电流与电阻的关系以及求一次函数与反比例函数的解析式的求法；从学生的随堂练习来看，有少数同学掌握还不够灵活，因此还应多设计一些类似题目加大训练量，以加强学生对归纳的规律的理解。