湘教版高中数学必修一221对数的概念与运算律教学设计1.doc

对数函数
教学目标：
1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系。
2．通过对指数函数的研究， 利用对数的概念，初步理y=log2x是一个对数函数。
3．把函数 y=㏒2 x 推广到 y=㏒ax (a>0,a≠1) ,初步了解对数函数的概念。体会对数函数是一类重要的函数模型。
4．通过对函数 x=log2 y与 y=log2 x 的图像关系的 研究，探索对数函数 的定义域和值域。
5．了解指数函数 与对数函数 y=㏒ax (a>0,a≠1)互为反函数。
学习重点与难点
1．理解对数函数的概念。
2．体会函数 与函数 y=㏒ax (a>0,a≠1) 图像间的变换关系，以及它们之间互为反函数的关系。
3．对数函数的定义域与值域的理解。
教学过程
一．实例分析
§1中，我们了解到细胞分裂的次数与细胞个数之间的关系可以用正整数指数函数 当y（即细胞个数）达到1万，或10万，求分裂的次数，则可得到分裂次数x和细胞个数y之间的函数关系y=㏒2 x.
y
O
x
1
2
2
4
二．提出问题：
对于一般的指数函数 中的两个变量，
能不能把y当作自变量，使得x是y的函数？
师生活动：探索研究
1、观察指数函数 的图像，回答问题：
（1）对于x的每一个确定的值，
y都有 唯一确定 的值和它对应；
（2）当 时， 。
就是说，指数函数 反映了数集R与
数集 {y | y > 0 }之间存在 一一对应 的关系。
（3）对于任意的y∈（0，+∞ ），在R中
都有唯一确定的数x满足_________ .
X=log2y
y
（4）如果把y当作自变量，那么 x 就是
______ 的函数，由对数的定义可知，这个函数就是 ______________.
X=log2y
2、习惯上，自变量用x表示，所以把函数 x=㏒2y 写成y=㏒2x，
那么函数 、 x=㏒2y 、 y=㏒2x 之间有何关系呢？
(1) 由对数定义可知，对数式x=㏒2y 是指数函数式 的另一种表达形式，其本质相同，对数式中的真数y就是指数函数 式中的函数值y，而对数x是指数函数中的指数x，故它们的图像是同一条曲线。
(2)再观察函数 x=㏒2y 与 y=㏒2x ,由它们的函数式可知,它们的对应法则相同,而自变量与因变量的位置互相调换了.反映在图像上,就是把x轴、y轴的位置互换了.
根据以上描述,你能把函数 的图像通过上述变换来作出函数 y=㏒2x 的图像吗?
由以上的图像和函数式可知，函数 的自变量x 即为函数 y=㏒2x 的函数值y。根据以上探索研究，你能把以上 各个函数的底数都换成a(a>0，a≠1),得出对数函数的定义吗?
对数函数概念的理解
归纳总结,得出定义:
指数函数 反映了数集R与数集{y | y>0}之间 的 关系,如果把y看成自变量,对于任意y∈ (0，+ ∞ ),在R中都有唯一的数 x 满足 。如果把y当作自变量,则 x 就是 y 的函数。这个函数就 是
x=㏒ay 。
函数 x=㏒ay 叫做对数函数。这里a>0,a≠1。自变量y>0。习惯上,自变量用x表示,所以这个函数写成y=㏒ax（a>0, a≠0)。
定义:我们把函数 y=㏒ax（a>0, a≠0) 叫做对数函数,a叫做对数函
数的底数。函数的定义域是(0,+∞ ),值域是R 。
特别地,我们称以10为底的对数函数y= lgx为常用对数,称以无理数e为底的对数函数y=㏑x为自然对数。
三．例题研究
例1 计算：
（1)计算对数函数y=㏒2x对应于x取1，2，4时的函数值；
(2)计算常用对数函数y=l g x对应于x取1，10，100，0.1时的函数值.
( 分析：计算函数值，只要把自变量的取值代入相应的函数式,运用已学的对数知识求解即可。)
解 （1）当x=1时，y=㏒2x=㏒21=0，
当x=2时，y=㏒2 x=㏒22=1，
当x=4时，y=㏒2 x=㏒24=2；
（2）参看课本第106页。
练习：课本92页练习第1,2题
补充练习:求函数y=㏒x-3(2x-7)的定义域。
四．探究发现
1、 前面我们利用指数函数与对数函数的关系，把x轴、y轴的位置互换,作出了函数
y=㏒ax（a>0, a≠0) 的图像。但是这种作图的方法并不常用，更多的时候我们是采用描点法来作图。
下面,请同学们动手用描点法作出函数 y=㏒2x 的图像。并根据图像说出函数 y=㏒2x 的性质。
先列出x，y的对应值表（如下表）
X
…
1/4
1/2
1
2
4
8
…
Y=㏒2X
…
-2
-1
0
1
2
3
…

y
O
x
1
2
2
4

师生活动：归纳总结 y=㏒2x的性质：
（1）定义域____(0，+∞ )_ ；
（2）值域：R ；
y＞0
（3）经过定点 （1，0），即x=1时 ；y=0
（4）x>1时，_______ ；
（5）在（0，+∞）上是 增函数 。
2、指数函数与对数函数的联系
指数函数 和对数函数x=㏒ay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：指数函数 中，x是自变量，y 是 x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞） ；对数函数x=㏒ay中，y 是自变量， x 是y 的函数，其定义域是 （0，+∞），值域是 R。像这样的两个函数互为反函数。
由于对数函数通常写成y=㏒ax（a>0，a≠1）。因此，指数函数 （a>0,a≠1)是对数函数y=㏒ax (a>0,a≠1)的反函数,同时,对数函数y=㏒ax (a>0,a≠1)也是指数函数 (a>0, a≠ 1) 的反函数 。
五．例题与练习
例2 写出下列函数的反函数：
（1）y=lgx； （2）y=㏒ x
例3 写出下列指数函数的反函数：
（1）y= （2）y=（ ）