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第四讲 函数
【教学目标】
1、理解正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的概念.
2、理解正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质.
3、会画出它们的图像.
4、会用待定系数法求正比例、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式.
5、培养学生用“数形结合”的思想与方法解决数学问题.
6、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象.
7、 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图
象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想.
8、 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x
轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.
【教学重难点】
1、考查正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中.
2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题.
3、 考查用待定系数法求正比例、反比例、一次函数、二次函数的解析式，有关
习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题.
4、 利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点.
【教学方法】
讲练结合法
【教学课时】
【教学过程】
变量之间的关系与平面直角坐标系
知识点
1．平面直角坐标系的初步知识
在平面内画两条互相垂直的数轴，就组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴 (正方向向右)，铅直的数轴叫做y轴或纵轴(正方向向上)，两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．
x轴和y把坐标平面分成四个象限(每个象限都不包括坐标轴上的点)，要注意象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号：
由坐标平面内一点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫做这个点的横坐标，由这个点向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫做这个点的纵坐标，这个点的横坐标、纵坐标合在一起叫做这个点的坐标（横坐标在前，纵坐标在后)．一个点的坐标是一对有序实数，对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序实数和它对应，对于任意一对有序实数，在坐标平面都有一点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
2．函数
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量， y是x的函数．
用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义．遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．
当自变量在取值范围内取一个值时，函数的对应值叫做自变量取这个值时的函数值．
3．函数的图象
把自变量的一个值和自变量取这个值时的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出一个点，所有这些点组成的图形，就是这个函数的图象．也就是说函数图象上的点的坐标都满足函数的解析式，以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上．
知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象：
(i)列表．在自变量的取值范围内取一些值，算出对应的函数值，列成表．
(ii)描点．把表中自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点．
(iii)连线．按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来．
【例题经典】
了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标
例1、在平面直角坐标系中，点(－1，－2)所在的象限是 ( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
分析：考查已知的点的坐标，确定它的象限
例2 .如果代数式有意义．那么直角坐标系中点A(a、b)的位置在( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
分析：要使根式有意义，a和b都要大于0
例3（1）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．
（2）（2006年德州市）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是__________．
【解析】利用数形结合的方法，直观求解．
会根据图象获取信息，进行判断
例4、函数中，自变量x的取值范围是___________________；
例5、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．

分析：D图不能用函数式表示出来。
例6、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”

(1) (2)
【解析】结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键．
例7、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．

下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
了解函数的表示方法，理解函数图象的意义
例8小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）

例9.某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
砝码的质量x(克)
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针位置y(厘米)
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
则y关于x的函数图象是( )．

分析：当砝码的质量大于或等于275克时，指针位置7.5(厘米)不变
一次函数

【知识点】
一次函数

一次函数的图象与性质
k、b的符号
k＞0b＞0
k＞0 b＜0
k＜0 b＞0
k＜0b＜0
图像的大致位置

经过象限
第 象限
第 象限
第 象限
第 象限
性质
y随x的增大
而
y随x的增大而
y随x的增大而
y随x的增大而

【例题经典】
理解一次函数的概念和性质
例1、下列函数中，正比例函数是( )
A．y==—8x B．y==—8x+1 C．y=8x2+1 D．y=-
例2、大连市内与庄河两地之间的距离是160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程y (千米)与行驶的时间x (小时)之间的函数关系式为_________________________；
例3、如图2，直线与轴交于点(－4 , 0)，
则> 0时，的取值范围是 ( )
A、>－4 B、>0 C、<－4 D、<0
例4、 若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．
【分析】这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y=kx+b（k≠0）．首先要考虑m2-2m-2=1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k>0,b>0，而k=2，只需考虑m-2>0．由便可求出m的值．
用待定系数法确定一次函数表达式及其应用
例5 （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长
16
19
24
27
鞋码
22
28
38
44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？
建立函数模型解决实际问题

例6（2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的
关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于
4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从
第几天开始进行人工灌溉？

反比例函数
【知识点】
1. 反比例函数
2. 反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝
或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
3. 反比例函数的图象和性质
k的符号
k＞0
y
x
o
k＜0
图像的大致位置
o
y
x

经过象限
第 象限
第 象限
性质
在每一象限内y随x的增大而
在每一象限内y随x的增大而

3．的几何含义：反比例函数y＝K/X(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，
设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .
【例题经典】
理解反比例函数的意义
例1 若函数y=（m2-1）x为反比例函数，则m=________．
【解析】在反比例函数y=中，其解析式也可以写为y=k·x-1，故需满足两点，一是m2-1≠0，二是3m2+m-5=-1
反比例函数图象和性质解题
例2、若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（　）
A、＞＞　　B、＞＞　　C、＞＞　D、＞＞　
点评：画出图象便一目了然，渗透了数形结合的数学思想。
例3.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x1<x2<0<x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3 C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1
例4．某蓄电池的电压为定值，右图表示的是该蓄电池电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系图像．请你写出它的函数解析式是 ．
例5.已知直线y=kx+b与双曲线y= 交于A(x1，y1)，，B(x2，y2)两点，则x1·x2的值( )
A.与k有关、与b无关 B.与k无关、与b有关
C．与k、b都有关 D.与k、b都无关
例6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象交于A（-2，1），
B（1，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的
值的x的取值范围．

例7、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=-x+(k+1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且S△ABO=．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC
的面积．
解：(1)设A点坐标为(x，y)，S△ABO=3/2
k=±3，∵点A在第四象限内，∴k=-3，．反比例函数的解析式为y=-3/x，一次函数的解析式为y=-x-2； (2) 解两个解析式的方程组得x1=-3 y1=1 x2=1 y2=-3．A点坐标为(1，-3)，C点坐标为(-3，1)，设直线AC与y轴交于点D，则D点坐标为(O，-2)，S△AOC=S△AOD+S△COD=4(平方单位)．

二次函数

【知识点】

1. 二次函数的图像和性质

＞0
y
x
O
＜0
图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 　 时，y有最 　 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中
＝ ， ＝ .

3. 二次函数的图像和图像的关系.

4. 二次函数中的符号的确定.
5. 二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
6. 抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a（x+h）2+k(a≠0)的顶点是（-h，k），对称轴是x=-h.
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)

例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.
例5、（2005年天津市）已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1，O)，B(x2，O)两点(x1<x2)，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，
则x1·x2=3<0，又∵x1<x2，
∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．
∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO．
(2)解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．
∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5．
当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，∠MCO>∠ACO．
函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

二次函数的应用
【知识点】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；（3）交点式： .
2. 顶点式的几种特殊形式.

⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .
3．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ．

二次函数应用

【例题经典】
例1. 用铝合金型材做一个形状如图1所示的
矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透
光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示.
⑴ 观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
⑵ 当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
例2. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，
柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同
的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水
平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？

例3.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A． 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
例4.某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s
例5.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
例6. 某飞机着陆后滑行的路程s米与时间t秒的关系式为：，试
问飞机着陆后滑行 米才能停止.
例7.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正
方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最
大（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
函数的综合应用
【知识点】
函数应用
【例题经典】
一次函数与反比例函数的综合应用

例1已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．
一次函数与二次函数的综合应用

例2 某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原
来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算
和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分
组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净
水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120
时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集
体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更
少？
（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？

【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣．
二次函数与图象信息类有关的实际应用问题
例3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1
日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段
表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分
来表示．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）

【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键．
例4 A县和B县春季育苗,急需化肥90吨和60吨, C县和D县分别储存化肥
100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C、D 两县运化肥到A、B两县的运
费(元/吨)如下表所示.
出
发
地
运
费
目
的
地

C
D
A
35
40
B
30
45
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.

例5 某块试验田里的农作物每天的需水量(千克)与生长时间(天)之间的关系如折线图所示.这些农作物在第10天、第30天的
需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每
天的需水量比前一天增加100千克.
(1)分别求出≤40和≥40时与之间的关系式；
(2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000
千克时需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进
行人工灌溉.

例6 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．