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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考!,定积分,第一节 定积分概念与性质,1/98,a,b,x,y,o,实例1,（求曲边梯形面积）,一、问题提出,2/98,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,3/98,曲边梯形如图所表示，,4/98,曲边梯形面积近似值为,曲边梯形面积为,5/98,实例2,（求变速直线运动旅程）,思绪,：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值,6/98,（1）分割,部分旅程值,某时刻速度,（2）求和,（3）取极限,旅程准确值,7/98,二、定积分定义,定义,8/98,被积函数,被积表示式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,9/98,注意：,10/98,定理1,定理2,三、存在定理,11/98,曲边梯形面积,曲边梯形面积负值,四、定积分几何意义,12/98,几何意义：,13/98,例1,利用定义计算定积分,解,14/98,15/98,五、定积分 性质,16/98,证,（此性质能够推广到有限多个函数作和情况）,性质1,17/98,证,性质2,18/98,补充,：不论 相对位置怎样,上式总成立.,例,若,（定积分对于积分区间含有可加性）,则,性质3,19/98,证,性质4,性质5,20/98,解,令,于是,能够直接作出答案,21/98,性质5推论：,证,（1）,22/98,证,说明：,可积性是显然.,性质5推论：,（2）,23/98,证,（此性质可用于预计积分值大致范围）,性质6,曲边梯形面积 夹在两个矩形之间,24/98,解,例2,不计算定积分 预计 大小,25/98,证,由闭区间上连续函数介值定理知,性质7（Th5.1 定积分第一中值定理）,积分中值公式,26/98,使,即,积分中值公式几何解释：,27/98,Th5.2(推广积分第一中值定理）,28/98,考查定积分,记,积分上限函数,六、积分上限函数及其导数,29/98,证,30/98,由积分中值定理得,31/98,计算以下导数,32/98,补充,证,33/98,例1 求,解,分析：,这是 型不定式，应用洛必达法则.,34/98,定理2（原函数存在定理）,定理主要意义：,（1）必定了连续函数原函数是存在.,（2）初步揭示了积分学中定积分与原函数之间联络.,35/98,定理 3（微积分基本公式）,证,七 牛顿莱布尼茨公式,36/98,令,令,牛顿莱布尼茨公式,37/98,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数问题.,38/98,例4,求,原式,例5,设,求 .,解,解,39/98,例6,求,解,由图形可知,40/98,则有,1.微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼茨公式,41/98,定理,八、换元公式,42/98,证,43/98,44/98,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,45/98,例1,计算,例2,计算,46/98,例1,计算,解,凑微分是第一类换元积分法，特点是不要显著地换元，也就不要更换积分上下限。,47/98,例2,计算,解,原式,48/98,例3,计算,解,49/98,三角代换和根式代换,50/98,例4,计算,解,令,原式,显著换元,51/98,证,52/98,53/98,奇函数,例6,计算,解,原式,偶函数,单位圆面积,54/98,总结：,1、定积分公式,2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）,3、根式和三角代换为显著代换，所以换元要换上下限,4、介绍了积分上限函数,5、积分上限函数是原函数,6、计算上限函数导数,55/98,证,（1）设,56/98,57/98,（2）,由此计算,设,58/98,59/98,定积分分部积分公式,推导,九、分部积分公式,60/98,例,计算,解,61/98,例2,计算,解,令,则,62/98,例3,计算,解,例4,计算,63/98,例5,计算,解,64/98,第四节 广义积分,一、无穷限广义积分,65/98,66/98,67/98,例1,计算广义积分,解,简记为,68/98,例1,计算广义积分,解,69/98,证,70/98,71/98,72/98,73/98,74/98,75/98,76/98,回顾,曲边梯形求面积问题,第五节、定积分应用,a,b,x,y,o,77/98,1、几何上应用,78/98,面积,79/98,a,b,x,y,o,面积元素,80/98,一、平面图形面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,边梯形面积为,A,右图所表示图形，面积元素为,81/98,曲边梯形面积,曲边梯形面积,82/98,c,有时也会选,y,为积分变量,83/98,解,（1）作图,（2）求出两曲线交点,（3）选 为积分变量,（4）代公式,84/98,解,两曲线交点,选 为积分变量,85/98,解题步骤：,(2)求出交点；,(3)选择适当积分变量，确定积分区间，计算。,(1)画出草图；,86/98,例3.,求椭圆,解:,利用对称性,所围图形面积.,有,利用椭圆参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,87/98,二、立体体积,设所给立体垂直于,x,轴截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,体积元素为,所以所求立体体积为,上连续,1.已知平行截面面积函数立体体积,88/98,例1.,一平面经过半径为,R,圆柱体底圆中心,并,与底面交成,角,解:,如图所表示取坐标系,则圆方程为,垂直于,x,轴 截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体体积.,89/98,思索:,可否选择,y,作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,怎样用定积分表示体积?,提醒:,90/98,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体体积,91/98,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成立体体积时,有,2.旋转体体积,92/98,x,y,o,旋转体体积为,93/98,94/98,95/98,例1.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成椭球体体积.,解:,利用直角坐标方程,则,(利用对称性),96/98,例.,与,x,轴围成封闭图形,绕直线,y,3 旋转得旋转体体积.,(1994 考研),解:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,求曲线,97/98,解,98/98,
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