高三数学二轮资料-函数教案-苏教版.doc

1．二次函数

一、填空题：
1. 在区间[, 2]上，函数f (x) = x2-px+q与g (x) = 2x + 在同一点取得相同的最小值，
那么f (x)在[,2]上的最大值是 4 ．
2.设函数f (x)= ，若f (-4) = f (0)，f(-2)= -2，则关于x的方程f(x) =x
的解的个数为 3 .
3.函数是单调函数的充要条件的是 b≥0 .
4. 对于二次函数，若在区间内至少存在一个数c 使得，则实数的取值范围是 (-3,1.5) .
5.已知方程的两根为，并且，则的取值范
围是.
6．若函数f (x) = x2+(a+2)x+3，x∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 .
7．若不等式x4+2x2+a2-a -2≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.
8．已知函数f (x) =|x2-2ax+b| (x∈R)，给出下列命题：①f (x)必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x)的图象必关于直线x = 1对称；③若a2-b≤0，则f (x)在区间[a, +∞)上是增函数；④f (x)有最大值|a2 -b|；其中正确命题的序号是 ③ .
9.已知二次函数，满足条件，其图象的顶点为A，又图象与轴交于点B、C，其中B点的坐标为，的面积S=54，试确定这个二次函数的解析式.
10. 已知为常数，若，则 2 .
11. 已知函数若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为 4 .
12.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.
13.设,是二次函数，若的值域是，则的值域
是；
14.函数的最小值为.
二、解答题：
15．已知函数，当时，恒有，求m的取值范围．
思路点拨:此题为动轴定区间问题,需对对称轴进行讨论.
解:
当即时,
当即时,.
综上得:或.
点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况,尤其是端点处的数值不可忽视.最后结果要取并集.
变式训练: 已知,当 时,的最小值为,求的值.
解: ，.
当时，．
当时，．
16．设a为实数，函数f(x) = x2+|x-a|+1，x∈R，
（1）讨论函数f (x)的奇偶性；
（2）求函数f (x)的最小值．
思路点拨:去绝对值,将问题转化成研究分段函数的性质.
解:(1)当时, ,函数为偶函数;
当时,，
此时函数为非奇非偶函数;
(2)=
当时,,
此时,;
当时,
当时,
点评:把握每段函数,同时综观函数整体特点,是解决本题的关键.
17. 已知的图象过点（-1，0），是否存在常数a，b，c，使得不等式对一切实数x都成立.
思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题.
解:当时，,
又可得；由对一切实数X都成立，
则
于是又，,此时.
综上可得,存在,使得不等式对一切实数X都成立.
点评: 挖掘不等式中隐含的特殊值,得到以及是解题关键.
变式训练：设函数是奇函数（都是整数）且.
（1）求的值；（2）当的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.
略解(1).(2) 当在上单调递增,在上单调递减.
18. 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解.
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或
或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，
设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解ó∈或.
点评: 将原题中的方程化成的形式, 问题转化为求函数[-1，1]上的
值域的问题,是解析2的思路走向.
变式训练:设全集为R，集合，集合关于x的方程的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求( )∩( )．
解：由,，
即 ,∴　．
又关于x的方程 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上，
设函数，则满足
，∴．
∴　
∴( )∩( )．
19.设函数f(x)=其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围；
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：（1）由题意知，恒成立，；
（2），令得；由得或
又，时，由得；
当时，；当时，由得，
即当时，的单调减区间为；
当时，的单调减区间为．
变式训练：已知函数函数的最小值为.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足下列条件：①m>n>3；②当的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）∵
设
当时；
当时，；
当
∴
（Ⅱ）∵m>n>3， ∴上是减函数.
∵的定义域为[n，m]；值域为[n2，m2]，
∴ 可得
∵m>n>3， ∴m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾.
∴满足题意的m，n不存在．
20.已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n，都有>；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn .
思路点拨:本题考察数列的综合知识,将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度.
解：（1）由求根公式，及得方程两根为.
(2)要证需证.

.
下面用数学归纳法证明:
①当时,,命题成立；
②假设时命题成立,即,．
则当时,,命题成立.
根据数学归纳法可知,对任意的正整数都有成立.
(3)由已知和(2),,
所以.
点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高.
补充:函数有如下性质：①函数是奇函数；②函数在上
是减函数，在上是增函数.
（1）如果函数（x>0）的值域是，求b的值；
（2）判断函数（常数c>0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数（常数c>0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例.判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.
解:（1）因为
（2）设

故函数为偶函数.
设

函数在上是增函数；
当0
则为减函数，设
则是偶函数，
所以
所以函数上是减函数，
同理可证，函数上是增函数.
（3）可以推广为研究函数的单调性.
当n是奇数时，函数上是增函数，
在上是减函数；
当n是偶数时，函数上是增函数，
在上是减函数．

2．指数函数与对数函数
考点要求：1．指数函数与对数函数是高考经常考查的内容，易与其他知识相结合，是知识的交汇点，便于考查基础知识和能力，是高考命题的重点之一；
2．应加深对指数函数与对数函数的图象、单调性、奇偶性的研究；特别注意用导数研究由它们构成的复合函数或较复杂函数性质。注意在小综合题中提高对函数思想的认识．
3．能熟练地对指数型函数与对数型函数进行研究。
一、 填空题：
1．已知，则实数m的值为．
2．设正数x,y满足,则x+y的取值范围是．
3．函数f(x)=a+log(x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a，则a的值为．
4．设则．
5．设a＞1且,则的大小关系为m>p>n ．
6．已知在上是增函数， 则的取值范围是 ．
7．已知命题p:在上有意义，命题Q：函数 的定义域为R．如果和Q有且仅有一个正确，则的取值范围．
8．对任意的实数a,b 定义运算如下，则函数
的值域．
9．是偶函数则方程的零点的个数是 2 ．
10．设函数f(x)=lg(x+ax-a-1),给出下述命题：⑴f(x)有最小值；⑵当a= 0时，f(x)的值域为R；⑶当a=0时，f(x)为偶函数；⑷若f(x)在区间［2，+)上单调递增，则实数a的取范围是a≥-4．则其中正确命题的序号（2）（3）（4） ．
11．将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数的图象与函数的图象关于对称，则函数的解析式是（填上你认为可以成为真命题的一种情形即可）．
12．已知函数满足：，，则
16 ．
13．定义域为R的函数有5
不同实数解 则=．
14．已知函数，当a<b<c时，有．给出以下命题： ；；；．则所有正确命题的题号为 (1)(4) ．
二、解答题：
15．定义域均为R的奇函数f (x)与偶函数g (x)满足f (x)＋g (x)＝10x．
（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；（2）证明：g(x1)＋g(x2)≥2g()；
（3）试用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)与g(x1＋x2)．
解：∵f(x)＋g(x)＝10x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10－x，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10－x ②，由①，②解得f(x)＝(10x－)，g(x)＝(10x＋)．
（Ⅱ）解法一：g(x1)＋g(x2)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)≥×2＋×2＝10＋＝2g()．
解法二：[g(x1)＋g(x2)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)＝
－＝
＝≥＝0．
（3）f(x1－x2)＝f(x1)g(x2)－g(x1)f(x2)，g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)－f(x1)f(x2)．
反思：掌握函数的函数解析式，奇函数，单调性，等常规问题的处理方法，第（2）问，把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，提升学生综合应用知识的能力．第（2）问还具有高等数学里凸函数的背景．
变式：函数为R上的偶函数，且对于任意实数都有成立,当时，，求(k为整数)时的解析式.
，，
16．设 ．
（1）令讨论F（x）在内的单调性并求极值；
（2）求证：当x>1时，恒有．
（Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：

2

0

极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
反思：利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。
变式：已知函数若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：

单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
17．已知函数的定义域恰为（0，+），是否存在这样的a,b，使得f(x)恰在（1，+）上取正值，且f(3)=lg4？若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由．
点拨：要求a,b的值即先求k的值。利用定义域恰为（0，+）建立k的关系式，显性f(x)的单调性是解题的关键.
解∵ a–kb>0，即 ()>k．又 a>1>b>0，∴ >1 ∴ x>logk为其定义域满足的
条件，又∵函数f (x) 的定义域恰为(0,+) ， ∴logk =0， ∴k=1．
∴f (x)=lg(a–b)．
若存在适合条件的a，b则f (3)=lg(a–b)= lg4且lg(a–b)>0 对x>1恒成立，
又由题意可知f (x)在(1,+)上单调递增．
∴x>1时f (x) > f (1) ，由题意可知f (1)=0 即a–b=1 又a–b=4
注意到a>1>b>0，解得a=,b=．
∴存在这样的a，b满足题意．
变式：（1）函数且a,b为常数在（1，+）有意义,求实数k的取值范围；
（2）设函数其中a为常数且f(3)=1讨论函数f(x)的图象是否是轴对称图形？并说明理由．
18．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3，且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
点拨：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
令f(t)= ,　其对称轴．
当即时，，符合题意；
当时，对任意，恒成立
解得．
综上所述，当时f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立．
反思：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)= t-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3＜-3+9+2得．
，即u的最小值为要使对不等式恒成立，只要使
k<即可．
变式：函数与图象的唯一交点的横坐标为，当时，
不等式恒成立,求t的取值范围．（）
19．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个正整数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<10)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．
（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；
（2）若对于每个正整数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（3）设(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{cn}前多少项的和最大？试说明理由．
解1）由题意知：an=n+,∴bn=2000()．
（2）∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2．则以
bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,
解得a<－5(1+)或a>5(－1)．∴5(－1)<a<10．
（3）∵5(－1)<a<10,∴a=7，∴．
数列{cn}是一个递减的等差数列，由 解得，故数列{cn}前20项和最大．
20．已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段
P1P2中点P的横坐标是．
（1）求证点P的纵坐标是定值；
（2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm ；
（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由知，x1+x2=1，则

故点P的纵坐标是，为定值．
（2）已知…+…，
又……
二式相加，得
…
因为…m-1)，故，
又，从而．
（3）由得…①对恒成立．
显然，a≠0，
（ⅰ）当a<0时，由得．而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；
（ⅱ）当a>0时，因为，则由式①得，
又随m的增大而减小，所以当m=1时，有最大值，故 ．

3．函数性质
1．已知函数的定义域为M，的定义域为，则
．
2．若函数的定义域为R，则实数的取值范围 [0,1] ．
3．在中，BC=2，AB+AC=3，以AB的长x为自变量,BC边上的中线AD长y为函数值，则函数的定义域是
4．已知函数则F(x)的最小值为 ．
5．若函数在区间上的值域为[-1,3],则满足题意的a,b构成的点(a,b)所在线段的方程是或．
6．若函数其中集合A,B是实数R的子集,若,则x=．
7．已知是R上的减函数,则a的取值范围是
8．若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m= 6 ．
9．若函数f(x)满足,当时,=．
10．已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上单调递减,且满足f(1-x)+f(1+x)=0给出下列判断：①f(5)=0；②函数f(x)在[1,2]上是减函数；③f(x)的图象关于直线x=1对称；④函数y=f(x)在x= 0处取得最小值．其中正确的序号是 ① ④ ．
11．若实数x满足,则．
12．偶函数，且的解集为，是R上奇函数且的解集为，则的解集为．
13．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 1 ．
14．设定义域为D，若满足（1）在D内是单调函数（2）存在使在值域为,则称为D上的闭函数.当为闭函数时，k的范围是．
二、解答题
15．(1)若函数的定义域、值域都是闭区间，求b的值．
（2）定义两种运算：,试判断的奇偶性；
（3）求函数的单调递增区间．
解：（1）2；（2）奇函数；（3）（-1，1）．
16．定义域均为R的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝10x.
（Ⅰ）求函数f(x)与g(x)的解析式；
（II）证明：g(x1)＋g(x2)≥2g()；
(III)试用f(x1)，f(x2)，g(x1)，g(x2)表示f(x1－x2)与g(x1＋x2)．
思路点拨: (1)利用函数的奇偶性建立函数方程组,解出
(2)从形式上联想基本不等式或利用比较法可证
(3)利用(I)的结论并加以类比可得结果
解：（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10－x，
∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10－x ②，
由①，②解得f(x)＝(10x－)，g(x)＝(10x＋)．
（II）解法一：g(x1)＋g(x2)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)
≥×2＋×2＝10＋＝2g()．
解法二：[g(x1)＋g(x2)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)
＝－＝
＝≥＝0．
（III）f(x1－x2)＝f(x1)g(x2)－g(x1)f(x2)，g(x1＋x2)＝g(x1)g(x2)+f(x1)f(x2)．
回顾反思：任一函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数的和
17．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即. 在此基础上有函数.
（1）求的值；
（2）对于函数，现给出如下一些判断：① 函数是偶函数；② 函数是周期函数； ③ 函数在区间上单调递增；④ 函数的图像关于直线对称．请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并加以证明；
（3）若，试求方程的所有解的和.
思路点拨:(1) 准确理解定义并据定义进行运算
(2)利用定义逐一讨论函数的性质
(3)画出函数的简图,利用对称性可得结论
解(1)由题设得:；
(2)正确的判断为①②④证明(略)
(3)由周期为1和偶函数性质知:方程的所有解的和为413．
反思回顾:对于函数信息题,准确把握题意是解决问题的关键
18．设函数
（1）求证：为奇函数的充要条件是
（2）设常数＜，且对任意x，＜0恒成立，求实数的取值范围
思路点拨:(1)分清充分性和必要性加以证明；
(2)将参数a分离出来，转化为函数的最值来处理．
解：（1）（充分性） 若，∴a=b=0，∴对任意的都有， ∴为奇函数，故充分性成立．
（必要性）若为奇函数,则对任意的都有恒成立，
即，
令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴
（2）由＜＜0， 当x=0时取任意实数不等式恒成立．
当0＜x≤1时,＜0恒成立，也即＜＜恒成立．
令在0＜x≤1上单调递增，∴＞．
令，则在上单调递减，单调递增
当＜时，在0＜x≤1上单调递减；
∴＜，∴ ＜＜．
当≤＜时 ≥．
∴ ＜．∴＜ ＜．
19．已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)．
(I)当a=l时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．
思路点拨：(1)按照求函数极值的步骤直接求解; (2)利用导数的几何意义求解； (3)利用函数的性质,将g(x)的最大值表示出来 然后讨论求解．
解（I）∵当a=1时，令=0，得x=0或x=1
当时，当时．
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为=-2.
（II）∵，∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当-1<-3a,∴.
(III)因在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，
① 当时，，在上单调递增且,
∴，∴.
②当时，．
i.当，即时，在上单调递增，
此时
ii. 当，即时，在上单调递减，在上单调
递增.
10 当即时，在上单调递增，
在上单调递减，故；
20当即时，
（ⅰ）当即时， ；
（ⅱ） 当即时，．
综上
反思回顾:(1)掌握求解函数的极 (最) 值的方法和步骤是解决问题的突破口
(2)确定引起讨论的原因,找出分类的标准是解决问题的关键
变式:已知，函数
（Ⅰ）当t=1时，求函数在区间[0，2]的最值；
（Ⅱ）若在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；
（Ⅲ））是否存在常数t，使得任意恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.
解：(Ⅰ)，．
当时，，
（Ⅱ）是单调增函数；
由是单调减函数；
（Ⅲ）是偶函数，对任意都有成立，
对任意都有成立
1°由（Ⅱ）知当或时，是定义域上的单调函数，
对任意都有成立
时，对任意都有成立．
2°当时，，由，
得．上是单调增函数在上是单调减函数，
∴对任意都有．
时，对任意都有成立．
综上可知，当时，对任意都有成立．
20．设函数y=f(x)定义域为R,当时,,且对于任意的都有成立,数列满足且．
(1) 求f(0)的值,并证明函数y=f(x)在R上是减函数；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 是否存在正数k,使对一切都成立,若存在,
求出k的最大值,并证明；否则，请说明理由．
思路点拨:(1)解决抽象函数的有关问题常采用“赋值法”或“寻求背景函数”；
（2）利用函数的单调性得出数列的递推关系，进而求出通项公式；
（3）构造函数，分离参数求出k的值．
解(1)由题意得:．
又当故．
设则．
所以函数f(x)在R上减函数．
(2)由得
又函数f(x)在R上减函数,所以,易得数列的通项公式为
(3)若存在正数k,使成立
记
F(n)单调递增, F(n)的最小值为F(1)= 则满足题意的k最大值为．
反思回顾：（1）抽象函数的背景函数常见形式有：
①其背景函数为；
②其背景函数为；
③其背景函数为；
④其背景函数为．
（2）恒成立问题的常见解决方法有：
①转化为求函数的最值；②分离参数法；③利用基本不等式或者线性规划；④数形结合法等．
变式一:
已知定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有，且
（1）求的值;
(2)求的解析式（）.
解：（1）令a=b=1，求得,
又 ∴
（2）
∴
令 ， ∴
∴ 数列 是以公差d= 的等差数列
∴ ,∴,∴．
变式二:
设函数,若．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设,求证:；
(3)设关于x的方程的两个实数根为且,试问:是否存在正整
数,使得?说明理由
解(1)由题设得
故函数f(x)的解析式为
(2)由， 易知n=1,2时成立．
当时,
=
(3),

从而有或,即存在=1或2,使．

4．函数的图象
要求：掌握绘制函数图象的一般方法，能够熟练掌握函数y=f(x)的图象与 y=-f(x),y=-f(-x),
y=f(-x),y=f(x±a),y=f(|x|),y=|f(x)|,y=af(x)图象之间的关系．解题中要注意图象对解题的辅助作用．
一、填空题：x
y
O
（第2题图）

1．已知y=f (2x+1)是偶函数,则函数y=f (2x)的图
象关于直线__ x=0.5 __对称，函数y=f (x)的
图象关于直线__ x=1 _对称，函数y=f (-x+2)
与y=f (x-2)的图象关于直线__x=2__对称．
2．函数y=f (x)的图象过原点且它的导函数f ‘(x)
300
600
900
30
40
50
x
y
O
（第3题图）
的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的
顶点在第 一 象限．
3．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg）
与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那
么乘客免费可携带行李的最大重量为__20kg _．
4．下列函数中，能用二分法求零点的是_ (3)_ ．
O
x
y
O
x
y
O
x
y
（将可能的序号都填上）
O
x
y

(1) (2) (3) (4)
5．已知函数y=f (x)的图象如图所示，则不等式>0的解集为__(-2,1)__．
6．设(x)是函数f (x)的导函数，y=(x)的图象如右图所示，若f (0)=6,f (2)=2，又f(x)>a2-a对x≥0恒成立，则a的取值范围为__-1<a<2__．
O
1
x
y
（第5题图）
O
1O
2O
x
y
（第6题图）
π
2π

1
x
y
O
-1
（第7题图）
7．已知函数y=f(x), x∈[0,2π]的导函数y=(x)的图象如图所示，则y=f (x) +(x)的单调区间为．

④①
x
y
③①
x
y
②㈡①
x
y
①
x
y
8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)(实线表示)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(虚线表示)(如f(2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元g(2)=3表示2个小时内的平均价格为3元)，下图给出四个图象：

1
2O
3
x
y
O
其中可能正确的图象序号是　③　．
9．已知Ｐ(4,5)，点Q在y轴上，点R在直线y=x上，
则△PQR的周长的最小值为．
10．已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x<3
π
1
-1

y=f(x)
y=g(x)
x
y
O
时，f(x)的图象如右图所示,则不等式f(x)cosx<0的解集
是．
11．已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,x∈[0,π]上的
图象如图所示,则不等式的解集是.
12．如果函数f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列
判断：
2
4
5
-3
-0.5
1
3
x
y
-2
Ｏ
① 函数y=f(x)在区间(-3,)内单调递增；
② 函数y=f(x)在区间(,3)内单调递减；
③ 函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④ 当x=2时，函数y=f(x)有极小值；
OA
4
14
9
x
y
（第13题图2）
P
A
B
C
D
x↑
f(x)
（第13题图1）
⑤ 当x=时，函数y=f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是　③　．
13．直角梯形ABCD如图(1)所示，动点
P从B出发，由B→C→D→A沿边运动，
设点P运动的路程为x，△ABP的面积
P
5
x
y
为f(x)，如果函数y=f(x)的图（2），则
△ABC的面积为____16 __．
14．如图所示，函数g(x)=f(x)+的图
象在点P处的切线方程是y= -x+8，则f(5)+(x)
=_____-5_______．

x
y
O
x
y
(备用).已知函数f (x)=的图象是下列两个图象中的一个,请你选择后再根据图象作出下面的判断:,间一定存在的不等关系为___________ ()．

O

二、解答题：
15．解(1) , (0≤t≤40)
(2)每件产品A的销售利润h(t)与上市时间t的关系为
设这家公司的日销售利润为F(t),
则F(t)==
当0≤t≤20时,,故F(t)在[0,20]上单调递增,此时F(t)的最大值是F(20)=6000<6300；
当20<x≤30时,令60(-)>6300,解得;
当30<x≤40时,F(t)=60()<60()=6300;
答:第一批产品A上市后,在第24,25,26,27,28,29天,这家公司的日销售利润超过6300万元.
16．解(1)因为f(m1)、 f(m2)满足: a2+[ f(m1)+ f(m2)]a+ f(m1) f(m2)=0,即[a+ f(m1)][a+ f(m2)]=0,
所以f(m1)=-a,或f(m2)=-a,即m1和m2是方程f(x)=-a的实根.
因为f(1)=a+b+c=0,则b= -(a+c)．因为△≥0,即,即,所以(3a-c)(a+c)≤0.
因为f(1)=0,所以f(1)=a+b+c=0;因为a>b>c,所以a>0,c<0.
所以3a-c>0,所以a+c≤0,即-b≤0,所以b≥0.
(2)设f(x)= ax2+bx+c的两根为x1,x2,因为f(1)=a+b+c=0,所以方程f(x)=0的一个根为1,另一根为.又因为a>0,c<0,所以<0.因为a>b>c且b=-a-c≥0,所以a>-a-c>c,所以
,所以2<3.
(3)设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-).由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a,不妨设f(m1)=-a,则
a(m1-1)(m1-)=-a<0,所以.因为f(x) = ax2+bx+c的对称轴为
,所以a>b≥0,所以,所以f(x)在[1,+∞)为增函数.所以f(m1+3)>f(1)=0,
所以f(m1+3)>f(1),所以f(m1+3), f(m2+3)中至少有一个数为正数.
17．解答:(1),时, >0,f(x)在[1,e]上单调递增.
,.
(2)设F(x)=f (x)-g(x), =x+= (1-x)(1+x+2x2)/x.
因为x>1时, <0,所以F(x)在(1,+∞)递减,F(1)= -1/6<0，所以在(1,+∞)上F(x)<0,所以
f(x)<g(x)，也就是在(1,+∞)上，f(x)的图象在函数g(x)=的图象下方.
18．解:由题意,得,∵当x=1+时,f(x)取得极值,∴=0，
∴,∴即a=-1.
此时,当时,,当时,,是函数f(x)的最小值．
(2)设f(x)=g(x)，则,，
设F(x)= ,G(x)=b，,令=0，解得x=-1或
x=3.易得函数F(x)在(-3,-1)和(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数.
当x=-1时,F(x)有极大值F(-1)=;当x=3时,F(x)有极小值F(3)=-9.
∵函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,∴函数F(x)与G(x)的图象有两个公共点.
∴或b=-9,∴.
变式：设函数f(x)=,0<a<1.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 若当x∈[a+1,a+2]时，恒有||≤a，试确定a的取值范围；
(3) 当时，关于x的方程f(x)=0在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数b的取值范围.
解：（1），令,得x=a或x=3a.
易知:当时,函数f(x)减函数,当时,函数f(x)也为减函数；当时,函数f(x)为增函数.
当x=a时,f(x)的极小值为;当时,f(x)的极大值为b.
(2)由||≤a,得-a≤≤a. 的图象的对称轴为x=2a.
∵0<a<1，∴a+1>2a, 在[a+1,a+2]上为减函数.
∴,.
于是,问题转化为求不等式组 的解.
解得,又0<a<1,所以a 的取值范围是．
(4) 当时,.由得.即
f(x)在上是减函数,在上是增函数,在(2,+∞)上是减函数.要使f(x)=0在[1,3]上恰
有两个相异实根,即f(x)=0在[1,2),上各有一个实根即可,于是有
0<b≤.
19．解：（1）当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，由于g(x) 与f (x)的图象关于直线x-1 = 0对称
所以f (x) =g(2-x) = 2a(2-x-2)-4(2-x-2)3 = 4x3-2a