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第七章 正交小波基的构造
本章讨论在MRA框架下如何构造正交小波基。由于MRA框架既可以由尺度函数生成，也可以由生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小波基。
本章中，滤波器代表高通滤波器；
滤波器代表低通滤波器；
7.1 由尺度函数构造正交小波基
1．由正交尺度函数构造正交小波基，构造步骤如下：
（1）选择或使为一组正交基。
（2）求：
(7-1)
或
(7-2)
（3）由求：
(7-3)
或
(7-4)
（4）由，构造正交小波基函数：
(7-5)
或
(7-6)
例1 Haar小波的构造
选择尺度函数

显然为一正交归一基，则

由式（7-3）

可得

这就是Haar小波函数，其波形略。
2．由尺度函数为Riesz基时构造正交小波基函数
要找到一个多分辨率分析的尺度函数，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz基来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz基的定义：
设函数张成的空间为的Riesz基的充分必要条件为存在两常数，使得对于所有都有
(7-7)
可以证明式（7-7）等价于

因此我们可以定义一个，使得

显然，满足

即是正交基。且可以构成的多分辨率分析框架。由此可由入手，构造一个正交小波基。
举例（略）
可以证明如下：
（1）除了时（此时为Haar小波）例外，其他都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程。
（2）正交的及其构造的小波函数（Battle－Lemarie小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴）。
（3）当为偶数时，（或）关于对称，当奇数时，（或）关于对称。而所有Battle－Lemarie小波关于对称。并且已有学者证明和都具有指数衰减性。
7.2 紧支集正交小波基的性质和构造
由MRA理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：
（7-8a）
（7-8b）
由上式可知，即使是支集紧的，相应的的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式（7-8）的右边仅包含有限项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成
（7-9a）
（7-9b）
如此，若是正交MRA中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（7-9a）的双尺度方程中的。
由式（7-9a）我们发现，如果先直接寻找函数，然后再来确定有限项的是不容易的。相反，若有限长度的已确定，再来确定则容易些。我们先不考虑这样得到的是否满足多尺度分析的生成元的正交性等条件，而只考虑若给定一组常数，如何由解方程（7-9a）来求得的问题。
7.2.1 有限长双尺度方程的求解
由有限长双尺度方程求解尺度函数有多种方法，下面介绍常用的两种。
解法1 理论推求法。
由式（4-57）可知：

其中为的离散傅里叶变换：

则

这种方法看起来简单，但在具体应用时很难用数值方法求解，因此只有理论上的价值。
解法2 数值迭代法。（略）
解法3 解方程组法。
若事先知道方程（7-9a）的解存在，且，则可简单的直接求出在所有二进小数上的值，如下：

所以
或
在双尺度方程（7-9a）中，令，得
（7-10）
此方程组在标准化条件下，有唯一解。
由式（5-11）求得后，利用双尺度方程

即可求得之值。重复上述过程，即可求得一切二进小数之值（其中）。就数值计算而言，这足够了。
7.2.2 紧支集正交小波基的构造
构造紧支集正交小波基的双尺度方程

也就是构造特征多项式的方法可归结为下列步骤：
1） 选定一整数。
2） 选定一多项式，使它满足以下三式：
(5-11)
(5-12)
其中满足
，其中 (5-13)
(5-14)
3） 寻找一实系数三角多项式，使得。
选取方法是：从的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造。
4） 则得
最简单的情况是取，此时是正系数多项式，所以条件式（5-12）显然得到满足，且因当时，单调增加，因此，
(5-15)

故条件式（5-14）也得到满足。于是利用Riesz引理即可构作实系数三角多项式，满足
由构作时，我们选取时，我们选取在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。
当时，的具体解析式为

相应的为：
当时：

此时的非零长度为。
当时：

此时的非零长度为。

图7-1 Daubechies尺度函数（N＝4，6，8，…40）

图7-2 Daubechies 小波函数（N＝4，6，8，…40）
当时相应的尺度方程系数见表7-1（参考，彭P75），其相应的非零长度为，图7-1和7-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。
对这样的紧支集小波，我们讨论一下它的一般性质。
（1） 支集大小
由式（5-15）得到不同下尺度函数的支集为

其相应的小波母函数的支集为

（2） 对称性问题
尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。可以证明，除Haar小波（其关于为反对称，其关于为对称）外，其他所有连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。
（3） 光滑性问题
紧支集多尺度生成元的光滑性也较差。要增加的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。（与海森堡测不准原理是统一的）
（4） 消失矩（cancellations）特性
对某些应用来说，（特别在指数计算方面），小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件），而且还必须具有高阶消去性。小波的消失矩定义如下：若

我们称小波具有阶消失矩。
小波的消失矩特性使函数在小波展开时消去了其高阶平滑部分（也即函数展开为多项式时的前项对应函数的光滑部分，小波系数将非常小，因此小波变换将仅仅反映函数的高阶变化部分），使我们能研究函数的高阶变化和某些高阶导数中可能的奇异性。
Haar小波只具有一阶消失矩，Daubechies连续的紧支集正交小波可具有任意高阶消失矩，消失矩随着支集增大而增大。对于阶消失矩的Daubechies小波，其的长度，并且次连续可导。
附录 图7-1,7-2的绘制程序
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wname='db2';
[phi1,psi1,xval1]=wavefun(wname,7);
wname='db3';
[phi2,psi2,xval2]=wavefun(wname,7);
wname='db4';
[phi3,psi3,xval3]=wavefun(wname,7);
wname='db5';
[phi4,psi4,xval4]=wavefun(wname,7);
wname='db6';
[phi5,psi5,xval5]=wavefun(wname,7);
wname='db8';
[phi6,psi6,xval6]=wavefun(wname,7);
wname='db10';
[phi7,psi7,xval7]=wavefun(wname,7);
wname='db20';
[phi8,psi8,xval8]=wavefun(wname,7);
figure(1)
subplot(421);plot(xval1,phi1);xlabel('\phiD_{4}');
subplot(422);plot(xval2,phi2);xlabel('\phiD_{6}');
subplot(423);plot(xval3,phi3);xlabel('\phiD_{8}');
subplot(424);plot(xval4,phi4);xlabel('\phiD_{10}');
subplot(425);plot(xval5,phi5);xlabel('\phiD_{12}');
subplot(426);plot(xval6,phi6);xlabel('\phiD_{16}');
subplot(427);plot(xval7,phi7);xlabel('\phiD_{20}');
subplot(428);plot(xval8,phi8);xlabel('\phiD_{40}');
figure(2)
subplot(421);plot(xval1,psi1);xlabel('\psiD_{4}');
subplot(422);plot(xval2,psi2);xlabel('\psiD_{6}');
subplot(423);plot(xval3,psi3);xlabel('\psiD_{8}');
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subplot(426);plot(xval6,psi6);xlabel('\psiD_{16}');
subplot(427);plot(xval7,psi7);xlabel('\psiD_{20}');
subplot(428);plot(xval8,psi8);xlabel('\psiD_{40}');