八上杨辉三角教学设计.doc

初中数学  人教2011课标版八年级上册第十四章
杨辉三角的奥秘及应用
地区：湖北省 – 孝感市 – 应城市
学校：应城市实验初级中学
姓名：叶文斌
课时：共1课时
教学设计：
一、教学目标
1．教学目标分析
“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，体验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神.
根据以上分析特制定教学目标如下：
（1）通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.
（2）通过学生从数形结合的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用数形结合研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.
（3）通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.
（4）通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.
2．学情分析
教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生发展，在中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示.
3．重点难点
(a＋b)n展开式中各项的系数杨辉三角的关系
二、教学过程
（一）创设情境：
首先是给出杨辉三角的图表，介绍杨辉和杨辉三角的历史演变，激发学生的学习兴趣，这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表：
杨辉，中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有《日用算法》 《杨辉算法》等；
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.。
（二）合作交流：
活动一：
问题1、大家首先观察这个图形整体有什么特征？
问题2、观察杨辉三角每一行首末数字有何特征？
学生实践交流，教师引导总结。
结论：等腰三角形
杨辉三角具有轴对称性
首末数字都是1
活动二：
问题1、观察表中从第二行起（除首末两数之外）每个数字与它肩上两数之间有什么关系？
问题2、每一行数字从左到右有什么特征？
学生实践交流，教师引导总结。
结论：
除首末数字外每个数字都等于它肩上两个数字之和。（可用此性质写出整个杨辉三角）
每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
试一试
1、 填空：

2、第8行第五个数是多少？
活动三：
问题1、第一行的数有几项？第二、三行呢？第n行的数又有几项？
问题2、第一行的数之和是多少？第二、三行呢？第n行的数之和又是多少？
学生实践交流，教师引导总结。
结论：
第一行的数有2项，第二数有3项、第三行数有4项，第n行的数有n+1项。
第一行的数和是2，第二的数之和是22 、第三行的数之和是23 ，第n行的数之和是2n 。
活动四：
问题1、每一行首末等距离的数有什么关系？
问题2、 （a+b)2 的展开式有多少项？各项展开式的系数与杨辉三角有什么联系？ （a+b)3 的展开式有多少项？各项展开式的系数与杨辉三角有什么联系？ （a+b)n 的展开式有多少项？各项展开式的系数与杨辉三角有什么联系？
学生实践交流，教师引导总结。
结论：
每一行首末等距离的两个数相等。
（a+b)2 的展开式有3项，各项展开式的系数与杨辉三角第2行数字对应相等；（a+b)3 的展开式有4项，各项展开式的系数与杨辉三角第3行数字对应相等； （a+b)n 的展开式有多n+1项,各项展开式的系数与杨辉三角第n行数字对应相等。

（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行;
另一种系数的计算方法：用前一项的系数乘以前一项中第一个字母的指数除以前一项的项数就等于下一项的系数，依次这样就可以写出（a+b)n的展开式。
试一试： 写出（a+b)9 的展开式？
杨辉三角基本性质
1.三角形的两条斜边上都是数1，而其余的数都等于它肩上的两个数相加
2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等
3.每一行的第二个数就是这行的行数
4.所有行的第二个数构成等差数列
5.第n行包含n+1个数
另外几个规律的观察：

（三）应用迁移：
杨辉三角的实际应用
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系? ．

挑战自我
问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

（四）总结反思：
1、杨辉三角的奥秘及应用
2、通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.
成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.
改进之处：一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论时出现口误，以及教师板书规范问题，虽然课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好.