宁阳二中高三数学理科重点章节专题训练三概率及随机变量的分布：训练四立体几何.doc

高三数学（理科）重点章节强化训练题：（三）
概率随机变量分布列
一、选择题
1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，
他应当选择的游戏盘为 （ ）

2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A．70种B．80种C．100种D．140种 3． (2009·重庆高考)的展开式中x4的系数是(　　)
A．16 B．70 C．560 D．1 120
4．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为(　　)
A．9 B．10 C．6 D．8
5．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　) A. B. C. D.
6．在(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6
7．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是(　　) A．40 B．60 C．80 D．10
8．若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是 (　　) A. B. C. D.
二、填空题
9．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．
10．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．
11． 已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

12．从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax＋By＋C＝0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为________．
13． (2010·安徽师大附中模拟)a＝ (sinx＋cosx)dx则二项式(a－)6展开式中含x2的项的系数是________．
14．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．
三、解答题．
15．设A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*}．
(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；
(2)从A中任取一个元素，求x＋y≥10的概率；
(3)设Y为随机变量，Y＝x＋y，求E(Y)．

16．．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都为，且面试是否合格互不影响．
(1)求至少有一人面试合格的概率；(2)求签约人数的分布列和数学期望．

17．一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：
(1)连续取两次都是红球的概率；
(2)如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．

18．甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是，.现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．
(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)．用X表示乙的总得分，求X的分布列和数学期望．

19.某学校为调查了解学生体能状况，决定对高三学生进行一次体育达标测试，具体测试项目有100米跑、立定跳远、掷实心球.测试规定如下：
①三个测试项目中有两项测试成绩合格即可认定为体育达标；
②测试时要求考生先从三个项目中随机抽取两个进行测试，若抽取的两个项目测试都合格或都不合格时，不再参加第三个项目的测试；若抽取的两个项目只有一项合格，则必须参加第三项测试.已知甲同学跑、跳、掷三个项目测试合格的概率分别是、、，各项测试时间间隔恰当，每次测试互不影响.（Ⅰ）求甲同学恰好先抽取跳、掷两个项目进行测试的概率；（Ⅱ）求甲同学经过两个项目测试就能达标的概率；
（Ⅲ）若甲按规定完成测试，参加测试项目个数为，求的分布列和期望.

高三数学（理科）重点章节强化训练题：（四）
立体几何部分
1.如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交
于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在
平面，垂足E是圆O上(异于C，D)的点，AE＝3，
圆O直径为9.
(1)求证：平面ABCD⊥平面ADE；
(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值．

2．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．

3．如图，已知在四棱锥P­ABCD中，
底面ABCD是矩形，且AD＝2，
AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F
分别是线段AB，BC的中点．
(1)证明：PF⊥FD；
(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A­PD­F的余弦值．

4．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，
Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，
BC＝AD＝1，CD＝.
(1)若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
(2)若二面角M­BQ­C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．

高三数学（理科）重点章节强化训练题：（三）
概率随机变量分布列答案
1.解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为 ，A游戏盘的中奖概率最大．
答案：A
2.解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C×C＋C×C＝70种．答案：A
3.解析：由二项展开式通项公式得Tk＋1＝C(x2)k＝2kC由16－3k＝4，得k＝4，则x4的系数为24C＝1 120. 答案：D
4.解析：由已知得＋＝1(x>0，y>0)，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋(＋)≥9. 答 案：A
5.解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为
P=答案：D
6.解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k＋1项Tk＋1＝C·(－)k＝C(－1)k应有2n－3k＝0，∴n＝，而n是正整数，故k＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k＝4，n＝6. 答案：D
7.解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有AA＝4(个)，
当2不在个位时，共有A·A·A·A＝16(个)，
所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数．
同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，
因此，这样的六位数的个数是40. 答案：A
8.解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有CA＝100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b2≥4ac，当c＝0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A个，当c≠0时，若b＝3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b＝4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b＝5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为＝. 答案：A
9.解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为
＝2×4＋1×6＝14.
10.解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P= 答案：
11.解析：由题意解得a＝，b＝c＝.
答案：　
12.解析：P＝＝. 答案：
13.解析：a＝ (sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)
＝(0＋1)－(0－1)＝2.
又∵Tr＋1＝C(a)(－)r＝Ca(－1)rx(－)
＝Ca(－1)rx.
由3－r＝2，解r＝1，∴x2项的系数为－Ca5＝－192.
答案：－192
14.解析：由题意知m＝，e＝，仅当m＝1或2时，1<e<3，∴e>3时的概率P＝. 答案：
15.解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)＝，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.
(2)设从A中任取一个元素，x＋y≥10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，
于是P(C)＝，所以从A中任取一个元素，x＋y≥10的概率为.
(3) Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝，P(Y＝4)＝，
P(Y＝5)＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝7)＝，
P(Y＝8)＝，P(Y＝9)＝，P(Y＝10)＝，
P(Y＝11)＝，P(Y＝12)＝.
则E(Y)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＋11×＋12×＝7.
16．解　(1)用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝，至少有一人面试合格的概率是1－P( )＝1－P()()()＝1－××＝.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.，P(ξ＝0)＝P(B)＋P( C)＋P( )
＝P()P(B)P()＋P()P()P(C)＋P()P()P()
＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝1)＝P(AC)＋P(AB)＋P(A )
＝P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P()＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝P(BC)＝P()P(B)P(C) ＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P

ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
17. 解　(1)连续取两次都是红球的概率P＝×＝.
(2)ξ的可能取值为1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝2×＝，P(ξ＝4)＝3＝.
ξ的概率分布列为
ξ
1
2
3
4
P

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
18解　(1)记“3次射击的人依次是甲、甲、乙”为事件A.由题意，得事件A的概率P(A)＝×＝；
(2)由题意，X的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝×＋××＋×＝，P(X＝1)＝××＋××＝，P(X＝2)＝××＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P

E(X)＝1×＋2×＝.

高三数学（理科）重点章节强化训练题：（四）
立体几何答案
1．(1)证明　∵AE垂直于圆O所在的平面，CD在圆O所在的平面上，∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.
∵CD⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE.
(2)解　∵CD⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，
∴CD⊥DE，∴CE为圆O的直径，即CE＝9.
设正方形ABCD的边长为a，在Rt△CDE中，
DE2＝CE2－CD2＝81－a2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2－AE2＝a2－9，
由81－a2＝a2－9，则，a＝3.
∴DE＝6.
以D为坐标原点，分别以ED，CD所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E(－6,0,0)，
C(0，－3，0)，A(－6,0,3)，
B(－6，－3，3)．
设平面ABCD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
即
取x1＝1，则n1＝(1,0,2)．
同理，可求出平面BCE的一个法向量为n2＝(，2,2)．
则cos〈n1，n2〉＝＝，故所求的二面角平面角的正切值为.
2．(1)证明　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
又AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)解　如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则
A(1,0,0)，B(0，，0)，
C(－1，，0)，P(0,0,1)．
A＝(－1，，0)，
P＝(0，，－1)，B＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为
n＝(x，y，z)，则即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，
则可取m＝(0，－1，－)，则cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角APBC的余弦值为－.
3．(1)证明　∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.
(2)解　设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得：x＝y＝.
∴n＝.
设G点坐标为(0,0，m)，E，则
＝，
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即×＋0×＋1×m＝m－＝0，得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
(3)解　∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得＝(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，PA＝1，平面PFD的法向量为n＝.
∴cos〈，n〉＝＝＝.
故所求二面角A­P­D­F的余弦值为.
4.(1)证明　连接AC，交BQ于N，连接MN.∵BC∥AD且BC＝AD，即BC綉AQ.
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC的中点，∴MN∥PA.
∵MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，
∴PA∥平面MBQ.
(2)解　∵PA＝PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD.(不证明PQ⊥
平面ABCD直接建系即可)如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为n＝(0,0,1)；
Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．
设M(x，y，z)，则＝(x，y，z－)，＝(－1－x，－y，－z)，
∵＝t，∴∴
在平面MBQ中，＝(0，，0)，＝，
∴平面MBQ法向量为m＝(，0，t)．
∵二面角M­BQ­C为30°，cos 30°＝＝＝，∴t＝3.

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