浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学理试题.doc

浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学理试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分（共50分）
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P（A·B）=P（A）·P（B） 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
Pn（k）=Cpk （1－p）n-k （k = 0,1,2,…, n） 球的表面积公式
棱台的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=πR3
h表示棱台的高 其中R表示球的半径

一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U=R,集合M＝，N＝，则等于
A． B． C． D．
2．已知∈（,），sin=,则tan（）等于
A． －7 B． － C． 7 D．
3．若满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，
则的取值范围是
A． B． C． D．
4．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 成 角，
且的大小分别为1和2，则有
A．成角 B．成角 C．成角 D．成角
5．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数
的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为
A． B． C． D．
6．若是上的减函数,且，设，，
若的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的
运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为
A． B． C． D．
8．已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2012项满足
A． B． C． D．
9．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有
A．576 B．720 C．864 D．1152
10．已知，其中，如果存在实数,使，
则的值
A．必为正数 B．必为负数 C．必为非负 D．必为非正

非选择题部分 （共100分）
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年
龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人
中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，
则在［2500，3000）（元）月收入段
应抽出 ▲ 人．
12．已知R，复数为纯虚数（i为虚数单位），

开始

否
输出s
结束
结束
则 ▲ ．
13．如右图程序框图，输出s= ▲ ．
（用数值作答）
14．已知，
若，，则的值为 ▲ ．
是
15．设关于的不等式的
解集为，且，则实数的
取值范围是 ▲ ．
16、已知向量，，
，则的取值范围是 ▲ ．
17．已知数列满足：，
用[x]表示不超过x的最大整数，
则的值等于 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）
在中，内角对边的边长分别是．已知．
（Ⅰ）若的面积等于，试判断的形状，并说明理由；
（Ⅱ）若，求的面积．

19．（本小题满分14分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

20．（本小题满分14分）
若是各项均不为零的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．
数列满足，为数列的前项和．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分15分）
线段，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设，．
　　（Ⅰ）求的函数表达式及函数的定义域；
（Ⅱ）设，试求d的取值范围．

22．（本小题满分15分）
设和是函数的两个极值点，其中，．
（Ⅰ） 求的取值范围；
（Ⅱ） 若，求的最大值．
注：e是自然对数的底数．

数学（理科）答案

一．选择题：
1．B． 2．A． 3．B． 4．A．5．D． 6．C． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B．
二．填空题：
11．25；12．；13．91； 14．；15．；16．；17．1．
三．解答题：
18．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
故为等边三角形。……………………..6分
（Ⅱ）由题意得，
即， …………8分
若，则，由，得，
所以的面积．………………………….11分
若，可得，由正弦定理知，
联立方程组解得，．
所以的面积．………………………….14分
19．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．…………4分
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．………………8分
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．从而．
的分布列为

0
1
2
3

………………………………12分
的数学期望．…………………………14分

20．解：（Ⅰ）在中，令，解得，…………2分
从而，，
于是。…………6分
（Ⅱ）假设否存在正整数，使得成等比数列，则
，可得，…………9分
由分子为正，解得，…………11分
由，得，此时，………………13分
当且仅当，时，成等比数列。………………14分

21．解：（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知
，代入得，
又，得；……………………4分
当A，B，C三点共线时，由，可知在线段BC外侧，
由或x＝5，因此，当x＝1或x＝5时，有，
同时也满足：．当A、B、C不共线时，
，可知，……………………6分
从而定义域为[1，5]．………………7分
　　（Ⅱ）∵　．　∴　d＝y＋x-1＝．
　　令　t＝x-3，由知，，，
两边对t求导得：，
∴ 关于t在[-2，2]上单调递增．
∴　当t＝2时，＝3，此时x＝1．　当t＝2时，＝7．此时x＝5．
故d的取值范围为[3，7]．…………………………15分

22．(Ⅰ)解：函数的定义域为，．
依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故
，
并且 ．
所以，

故的取值范围是． …………7分
(Ⅱ)解:当时，．若设，则
．
于是有

构造函数（其中），则．
所以在上单调递减，．
故的最大值是． …………15分