二次函数与实际问题----图形的最大面积.docx

实际问题与二次函数 （第1课时）
----二次函数与几何面积最值问题
临潼区油槐初中 赵美丽
教学目标
知识技能：
1.正确理解题意，分析问题中的变量和常量.
2.能根据题意，列出二次函数的关系式.
3.能将实际问题转化为二次函数模型.结合二次函数的性质，讨论最值问题.
过程与方法：
1.经历二次函数的建模过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.经历用二次函数解决问题的探索过程，增强学生的应用意识.
情感态度：通过学生解决实际的问题，增强学生学习数学的兴趣，培养学生学数学，用数学的意识.让学生真正的意识到数学是从实践中来，到实践中去，是一门有用的学科.
教学重点
能根据题意，列出二次函数的关系式，解决实际问题.
教学难点
能根据题意，列出二次函数的关系式.能根据实际问题，结合二次函数的性质，讨论最值问题.

教学过程
一、 复习导入
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
（1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4.
（学生独立完成,组内交流答案.）
一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

这节课，我们来学习利用二次函数的知识如何来求几何面积中的最值问题。
二、新课教学
1.问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．然后画出函数h＝30t－5t2 (0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．
(教师引导分析，学生思考交流完成)
2.例题 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
（学生独立思考后，一生回答，教师指正）
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

问题1 变式1与例题有什么不同？
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
（师生共同分析完成变式1，教师强调确定自变量范围）
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
问题5 如何求自变量的取值范围？
问题6 如何求最值？
（变式2学生分小组 讨论交流，全班分享，教师点评，指出最值不一定在顶点处）
注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点、何时取端点处才有符合实际的最值.
方法小结：（教师引导完成）
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
三．课堂练习
1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .

2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
四、课堂小结
今天学习了什么，有什么收获？
如何来求几何面积的最值？
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
（学生交流，互相补充）
五、布置作业
课本习题22.3 4、5、6、7 题