北师大版高中数学《合情推理和演绎推理》教学设计.doc

《合情推理和演绎推理》教学设计

知识与技能
了解合情推理的含义，能利用归纳的方法进行简单的推理，结合实例说明归纳推理的实质，理解类比推理的实质。
了解演绎推理的含义；能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
过程与方法
本节课主要归纳和类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以学案辅助教学，以问题组的形式展开，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围。
情感态度和价值观
1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。
教学过程：
一．知识梳理（由学生课余小结，课堂展示结果）
1.合情推理包括：归纳推理和类比推理。
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的。
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
（2）类比推理：是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，
2. 演绎推理
演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
二．考情分析：
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
三．典例分析：
1．已知O是内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于，则。这是平面几何中的一个命题，其证明常用“面积法”：运用类比，猜想对于空间中的四面体，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明。
先根据所给的定理写出猜想的定理，把面积类比成体积，把面积之和等于1，写成体积之和等于1，再进行证明．
点评：类比推理应从具体问题出发，通过观察、联想进行对比，归纳，提出猜想.平面问题与空间问题的类比，通常抓住平面角与二面角、面积与体积、边与面等各方面几何要素进行对比.
跟踪训练：
在△ABC中，射影定理可以表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．
解析：如图，在四面体P－ABC中，S1、S2、S3、S分别表
示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积，α、β、γ依
次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成角的大
小，我们猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1cosα＋S2cosβ
四．检验预习结果
1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a•b＝b•a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)•c＝a•c＋b•c”；
③“(m•n)t＝m(n•t)”类比得到“(a•b)•c＝a•(b•c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a•p＝x•p⇒a＝x”；
⑤“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a•b|＝|a|•|b|”；
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
设计意图：让学生进一步体会合情推理的概念，也弄清楚向量中哪些式子成立，成立的条件是什么，哪些不成立，为什么不成立。由学生辨析，学生补充，学生小结。
思考：通过此题，你都知道了什么？
你还能类比出那些有用的性质吗？
2.已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.
3．已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为____________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，得
f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…，
由此猜想fn(x)＝(n∈N*)．
答案：f3(x)＝　fn(x)＝(n∈N*)
设计：以上两题均由学生在黑板上板演，由学生讲解，学生提问，学生解答
4.由黄金椭圆的性质类比黄金双曲线的性质。见优化设计课时训练61.
五．巩固新知，学以致用（课堂检测）
　在学生课前预习，课堂进一步学习的基础之上，进行当堂检测，巩固知识，提高能力。
1（.陕西2011年高考）观察下列等式。
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个式子为 .
【分析】：纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
2．.观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 。
【分析】：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知的三角恒等式，分析出式子中三个角的关系，是解答本题的关键．．
3．我们知道若一个边长为，面积为的正三角形的内切圆半径，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为,体积为,则其内切球的半径
设计意图：2、3两题由学生分小组讨论，每小组选出代表发言。此活动的目的是使学生不再处于被动状态，而成为积极的发现者，让学生学会自己走路，逐步培养学生解决问题的能力和初步的应用意识，充分体现现代数学课堂由单纯传授知识的殿堂转变为学生主动从事教学活动，构建自己有效的数学理念的场所。
4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图⑴．⑵．．⑷为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．
（1）求出的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你的得到的关系式求出的表达式；
（3）求的值．

[来源:学|科|网]

【分析】本题考查的知识点是归纳推理，
六．知识小结：
１.本节课学习了哪两种合情推理？
２.你都知道哪些类比推理的例子？
３.在学习过程，哪块都用了类比学习的方法？
七．课后思考题。