代数思想在小学数学中的应用初探.doc

代数思想在小学数学中的渗透初探
李代凤
数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，是分析、处理与解决数学问题的根本途径，是人类共同的思想源泉。古训说：“授之以鱼，不如授之以渔。”学习数学从根本上讲就是获得数学的思想和方法，并用于指导工作和生活。数学知识是各种思想方法导出的结果，而我们要教学生的是用这些思想方法去创造更新的知识。数学发展到今天，已变成一个符号化的世界。数学符号化思想最初表现为用记号或字母表示数的思想，慢慢发展为代数思想。
一、代数思想的重要性。
代数思想方法是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生抽象思维能力重要素材。从算式到代数，是数学发展、是数学学习的重要转变，是人们的思考方式从具体到抽象、从特殊到一般、从静止到变化的转变，其中一个重要标志就是用字母表示数。“字母表示数”即用字母代替数，也就是数字的一般化表示，它不仅是产生符号化思想的基础，也是代数思想和函数思想的前奏。字母可以代表任何数，因此可以表达一般规律，由此可以产生方程、函数等重要的刻画现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
“字母表示数”的发展过程在历史上持续了上千年。之所以出现字母表示数的思想，一个重要的原因是“对具体数字的抽象和一般规则的形成都要求有相应的表示方法，需要符号来表示任何数和对于数的运算。”“字母表示数”是数学中真正的进展，它直接引发方程思想的产生。而方程思想的出现使算术问题解答变得轻而易举。（邵光华：《作为教育任务的数学思想与方法》，上海教育出版社，2009年版，第76页）
小学数学主要以“算术”为主，小学阶段代数思想的直观渗透是为后面学习代数式、方程、不等式、函数、相似图形的比例关系等知识做铺垫，也是中学代数学习的重要基础。
二、小学代数思想渗透的一些现状。
实际教学中发现，小学生大脑中的算术思维根深蒂固，面对算术不能解决的问题往往陷入了困境。或者简单的方程问题学生觉得用算术更简单；或者复杂的方程问题学生理不清数量关系和等量关系；或者直接给未知量假定一个数值进行算术演算，特殊值法一用到底，很难从具体情况抽象出一般规律；或者使用枚举发，重复地进行算术演算，直到穷举出符合条件的答案。即使学生头脑中有代数思想的一席之地，那也仅仅只限于“字母可以表示任何数”的表面层次。
例如：看到13+☆=21，不管什么阶段的学生，他都不会觉得☆是一个数学符号，不会觉得☆可以像字母x一样表示未知数，更不会去想这是不是一个方程。学生会根据算式各部分之间的关系，一个加数等于和减另一个加数求得☆=21－13=8。
另外，不要忽略学生对于新知识的陌生感。我们现在看3+5是8，但学生看到的是3加5的计算过程。因此不难理解学生认为x+3是一个算式而不是一个结果。学生想：X可以代表任何数，但总无具体数目，怎么会是结果呢？所以，进一步，学生不理解字母可以像数字一样进行四则运算。所以最终，学生可能会填比x多5的数是x+5，但却不懂x+是的多少倍。为此很有必要在小学阶段，适当地渗透代数思想的不同层面的意义。
三、字母表示数的意义分类。
认为字母表示数只是以字母代表某个数或泛指一般数，那是片面的。字母代表数的真正价值在于：字母能和数字一起进行四则运算、乘方、开方，进行指数、对数、三角运算，以及微分、积分运算等。字母表示数可以分为四个层次：
1、 用字母泛指某个数集中的一个数。正如张三、李四可以泛指某一个人。还包括一些特殊字符π、e等。
2、 专指特定的数：方程中的未知数都是具体问题中的特定的数，只是暂时不知道，临时用字母代替。
3、 作为变量：比如用字母表示两个相关联变量的关系，刻画正、反比例关系；比如2n表示所有偶数，其中n为自然数；再如函数概念中的字母。
4、作为不定元参与数学运算。比如：修同一段路，甲队单独8天完成，乙队单独需10天完成，两队合修一天完成它的几分之几？可以设这段路全长x米，则甲每天修x÷8=x米，乙每天修x米，两队合修每天共修x+x=x米，占全长的x÷x=x×=。而在实际操作中，我们往往把这段路程的全长看作是整体“1”。
另外，字母除了代表数，还可以表示其他数学对象，如算式、代数式、函数等。
四、小学阶段代数思想的渗透。
第一学段（1—3年级）的学习，用图形符号代替用字母x表示数的思想。不提倡过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，应尽量避免形式化的抽象表达形式。代数思想的渗透，不需要学生知道是什么，只要学生能通过图像、颜色、声音等建立初步的符号意识，能用符号代替繁杂的文字叙述。例如：37－□=21；☆+☆+☆=21；□+□+□+□=△+△。又比如“搭配中的学问”中，用各种符号表示菜名或服装。再比如将两两握手问题抽象成两点之间连线的问题。
第二学段（4—6年级），要让学生理解字母表示数的思想。字母或含有字母的式子可以表示数，也可以表示数量关系或变化规律。例如：x－21可以作为整体或两个数的差表示一个数即结果，也可以表示x与5的相差关系或者每年妈妈都比儿子大21岁的规律。表示数对应的是方程中的解，表示数量关系或变化规律对应的是函数思想的初步。
这一学段，方程思想的重要性不言而喻，要使学生会用方程刻画具体情景中的等量关系，进而解决问题。这里要强调的是字母作为不定元参与数学运算思想的重要性。这种思想实际就是凡是不知道的量都用字母表示，然后根据数量关系，用字母直接进行数学运算。
代数方法几乎贯穿于整个数学的全部，不仅作为一种语言，更作为一种解决问题的工具，代数思想在小学的渗透具有深远意义。这其中还有很多问题值得深入思考：代数思想在小学阶段渗透的深度和广度问题；中学数学中的一些代数概念和方法，如变元、整体代换法、换元等是否可以引入；如何在新课标的指导下处理中小学的数学教学衔接问题；关于代数的衔接内容是什么……路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，至懂方休！

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